一道高考題引發的思考

一、題目再現

（2012新課標理數全國卷11題）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（）.

A.26 B.36C.23 D.22

二、解法探究

三、試題評析

筆者認為此題短小精悍，基于以下幾方面原因：

1.問題熟悉而有新意

對于學生而言，對于多面體與球的切接問題是熟悉的.由教育部考試中心命制的新課標試題對多面體與球的切接問題常有涉及.學生在復習備考時，這類題目也應該多次做過，但大多轉化為長方體或直角三棱錐與球的切接模型.該題題目簡潔明了，但一改常規模型，使試題更具新意，更有考查價值.

2.考查點豐富

該題的考查點較為豐富.從知識角度看，涉及平面幾何三角形知識、線面垂直、球內接多面體的體積等知識運用；從思想方法角度看，主要考查了轉化與化歸思想；從能力角度看，主要考查了學生的空間想象能力、運算能力、邏輯思維能力等.

3.符合命題思想

該題比較好地符合了高考數學命題的一些思想，筆者認為主要體現以下方面：第一，對空間想象能力的考查，主要體現在對文字語言、符號語言及圖形語言的互相轉化，表現為對三種語言的識別、理解、加工.本題沒有圖，需要自己將文字語言轉化為圖形語言，在作圖時是否需要作出球體也是對考生的空間想象和理解能力的考量.第二，“多考想的，少考算的”.本題若直接求高（解法2），對學生的基本功要求挺高，但學生若能將高轉化（解法1）或將底面進行轉化（解法3），問題迎刃而解，其運算量也不大，從此種意義看該題考查學生能否很好地把握問題的關鍵本質，體現思維層次的靈活性和創造性.

四、備考啟示

通過本題，筆者就高考題在復習備考中的使用談一點體會.一是選擇好的高考題訓練.筆者認為好的高考題基本標準是對鞏固基礎知識、形成數學方法和數學思想、訓練思維能力、提高數學素質具有重要作用.二是研究高考試題.需要指出的是，研究高考題對教師和學生的要求是不同的.教師對試卷的布局、試題的立意、試題的背景、試題的解法、試題的推廣、試題的改編和試題的評價等可做較全面的研究，學生應重點研究試題的解法、試題的鏈接推廣等問題，在深度上也應適可而止.