常微分方程的通解與全部解的關系

【摘要】本文針對常微分方程只重視研究通解，而忽視全部解的現象，討論了通解與全部解的關系：微分方程的全部解應由通解與特解、常數解構成；當特解與常數解都能包含于通解時，通解才是全部解；而對全微分方程、線性方程（組），它們的通解就是全部解.由此可以改進常微分方程的教學體系.

【關鍵詞】常微分方程；通解；全部解

一、通解與特解、常數解構成全部解

根據常微分方程解的定義，下面的結論顯而易見.

定理1一個常微分方程的全部解通常包括通解以及不能包含在通解內的特解或常數解.

求解常微分方程，應該求出它的滿足條件的全部解，即使有時只要求初值問題的解，但是為了避免漏解，仍然必須討論原方程的全部解.有關于此的例子，散見于所有《常微分方程》教材中“初等積分法”的“變量可分離方程”、“齊次方程”等章節，然而這些教材卻沒有介紹定理1，有些例題的解答默認了定理1，顯然有失嚴密性.下面謹以常用的實例略加說明.

教材在解答類似問題時缺省了表出全部解的步驟，這樣容易導致兩個問題，一是初值問題的解為什么要借助通解來研究，二是用這樣的方法求初值問題的解會不會造成漏解.

本例給出的解答很好地避免或解決了上述問題，因為根據定理1，本題的特解只能從通解和常數解中探求.

雖然本題只要求初值問題的解，但是討論原方程的全部解卻是解答此類問題必不可少的重要內容.

二、通解是全部解的條件

三、線性方程（組）的通解就是全部解

【參考文獻】

[1]東北師范大學微分方程教研室.常微分方程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]王高雄，周之銘，朱思銘.常微分方程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]錢明忠，陳友朋.常微分方程的通解[J].高等數學研究，2007，10（4）.