不定積分計算中一類有用的變量代換

一、引言

二、簡單無理式積分的一類有用的變量代換

三、結論

三角代換是處理簡單二次根式積分常用的工具，但是，三角代換只能將簡單無理式化為三角有理式，如果不像例1那樣湊巧的話，化成三角有理式后，有時還不得不使用萬能代換將其化為代數有理式.本文所給出的一類代換則可直接將某些簡單無理式的積分直接化為代數有理式的積分.

歐拉代換作為將積分變量和二次根式同時化為代數有理式的一類積分變量代換，應用范圍廣泛.但是，其變換結果往往很難積出來，且積分結果也比較復雜，不易驗算.而本文所給出的三個代換分別對應于歐拉的三個代換，雖然其適用范圍受到一定限制，但由于巧妙地應用了積分變換中變量微分與二次根式的關系，使得變換后的被積表達式呈現出便于積分的代數有理式，其結果也比較簡單，便于驗算，并且也適用于定積分計算.因此，是值得推廣的一類有用的積分代換，可以在課堂教學中講授，以提高學生的基本運算能力.

【基金項目】防災科技學院教學建設與教學研究項目（編號）