淺析“函數的極值”

【摘要】本文闡述了函數極值的概念、存在條件及判定方法，并通過實例探析了極值的求法和應用.

【關鍵詞】函數；極值；極值點；條件

一、函數極值的定義

1.定義

設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，如果對于該鄰域內的任意x（x≠x0）恒有f（x）>f（x0），則稱f（x0）是函數f（x）的極小值，點x0是f（x）的極小值點；如果對于該鄰域內的任意x（x≠x0）恒有 f（x）

函數的極大值與極小值統稱為極值，函數的極大值點與極小值點統稱為極值點.

2.定義的理解

（1）極值是函數值，極值點是自變量的取值，兩者不能混淆.

（2）函數的極值是局部概念，它只是與極值點鄰近點的函數值相比較而言，并不意味著它在所討論的區間內最大或最小.

（3）函數的極大值不一定比極小值大，函數的極小值也不一定比極大值小.

（4）函數的極值只能在區間內部取得，不能在區間的端點處取得.

二、取得極值的條件

1.必要條件

定理1如果函數f（x）在點x0處有極值，且f′（x0）存在，則f′（x0）=0.

使導數為零的點（即方程f′（x0）=0的實根）稱為函數f（x）的駐點.

定理1的理解：

（1）可導函數的極值點必是它的駐點，但反過來，函數的駐點不一定是它的極值點.例如x=0是函數f（x）=x3的駐點，但并不是它的極值點.因此，f′（x0）=0是函數f（x）在x0處取得極值的必要條件，而不是充分條件.

（2）在連續函數某些不可導的點處也能取得極值，因此在求函數極值的時候也要考慮這些不可導的點.例如，f（x）=|x|在點x=0處有極小值f（0）=0，而在點x=0處f（x）=|x|不可導.

2.充分條件

定理2（極值第一判定法）設函數f（x）在點x0處連續，且在點x0的去心鄰域內可導，若在該鄰域內

（1）如果f（x）在x0 兩側的導數符號滿足“左正右負”，那么函數f（x）在點x0處取得極大值f（x0）；

（2）如果f（x）在x0兩側的導數符號滿足“左負右正”，那么函數f（x）在點x0處取得極小值；

（3）如果f（x）在x0 兩側的導數符號不變，f′（x）的符號相同，那么函數f（x）在點x0處沒有極值.

定理3（極值第二判定法）設函數f（x）在點x0處的二階導數存在，且f′（x0）=0，f″（x0）≠0，則

（1）如果f″（x0）<0，那么函數f（x）在點x0處取得極大值f（x0）；

（2）如果f″（x0）>0，那么函數f（x）在點x0處取得極小值f（x0）；

（3）當f″（x0）=0時，不能判定x0處極值是否存在，此時應該運用第一判定法.

三、極值的求法

1.求函數極值的步驟

（1）確定函數f（x）的定義域.

（2）求函數f（x）的導數f′（x）. 令f′（x）=0，求出全部的駐點和f′（x）不存在的點.

（3）用駐點和導數不存在的點順次將函數的定義域分成若干子區間，列表討論每個子區間f′（x）的符號，確定極值點，求出函數的極值.

2.應用舉例

【參考文獻】

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