探索性數學活動

【摘要】 數學課程標準中十分強調“探索過程”，在教學中培養學生的探索性思維能力是素質教育的要求，也是數學教育的主要任務之一. 在平時的數學解題中，不少學生受到思維的局限，表現在對數學問題背后隱藏的數學知識和考查的基本技能認識不清，由具體數學實際情境問題轉化數學模型的能力較弱. 在教學中，我們不僅要關注學生的學習結果，更應該關注學生的數學學習過程，關注學生的探索性數學活動過程.

【關鍵詞】 數學活動過程；探索性；數學思維

《數學課程標準》所提出的評價新理念之一：不僅關注對學生學習結果的評價，也要關注對他們數學活動過程的評價.在近年的數學學業考試中，不少地方的試卷都很好地貫徹了這一理念. 尤其是注重對學生探索性思維能力和創新思維能力的考查.

當然，與具體的結果性目標（如會某種運算、能解某種方程、知道某個命題……）不同，過程性目標好像有點“看不見，摸不著”，短期內難以看出其成效，難以操作和評價. 因此，在具體教學中，很多教師對數學活動過程的實施存在一些疑慮，對學生數學活動過程關注不夠. 正因為如此，在數學學業考試中，教師應更關注對學生活動過程的考查，切實了解學生過程性目標的達成情況，以對當前的數學教育教學改革形成正確的導向.

那么，數學活動過程考查的主要內容是什么？《初中畢業生〈數學〉學科學業考試命題指導》指出，“數學活動過程”考查的主要方面包括：數學活動過程中所表現出來的思維方式、思維水平，對活動對象、相關知識與方法的理解深度；從事探究與交流的意識、能力與信心等；能否通過觀察、試驗、歸納、類比等活動獲得數學猜想，并尋求證明猜想的合理性；能否使用恰當的數學語言有條理地表達自己的數學思考過程.

因此，作為數學教師不僅要關注學生數學學習的結果，更應關注學生的數學學習過程.

結合本人平時教學實踐，就數學教學中如何關注探索性數學活動過程談一談自己的體會：

一、關注學生能否積極有序地觀察所探索的對象——通過對若干具體情況的觀察而發現存在于探索對象背后隱藏的數學對象

以代數式的學習為例，如果我們采用“告訴”的方式——代數式的定義、代數式的判別，那么在學生頭腦中留下的印象就是形式化的定義、模仿判別. 因此，我們可以換種方式，設置一個具有挑戰性的問題情境，學生在解決問題的過程中必須接觸到代數式.

（2）如圖②，當點M在BC上時，其他條件不變，（1）的結論中EN與MF的數量關系是否仍然成立？若成立，請利用圖②證明；若不成立，請說明理由；

（3）若點M在點C右側時，請你在圖③中畫出相應的圖形，并判斷（1）的結論中EN與MF的數量關系是否仍然成立. 若成立，請直接寫出結論，不必證明或說明理由. 人們認識的發展，借助“由特殊到一般”是一條重要途徑，當特殊情況推廣到一般情況時，特殊情況的結論或者成立或者被改變，前一種情況就獲得“不變性”——即“變中不變”，后一種就是搞清楚了“變中變”——即找到“變化規律”，不論哪種情況，都是數學探索活動，都使認識得到了擴展和提升，都具有探索精神和正確運用探索方法的表現，也就是數學學習能力較高的表現. 在上面例題中，問題（1）、（2）、（3）情況中均有EN = MF成立，這一“不變性”是源自于：因為△ABC是等邊三角形，其各邊中點所成之△DEF也必是等邊三角形，并且和等邊三角形DMN有公共頂點D，因此總有△DMF≌△DNE，也反映的是有公共頂點的兩個等邊三角形的性質.

教學中教師要關注：① 學生能否從猜測的結論出發尋找到說明猜測結論正確的策略（三角形全等）；② 學生能否從整體上把握證明過程中的邏輯鏈條：△DMF≌△DNE.

四、關注學生能否用恰當的數學語言表達自己的探索與論證過程

如圖，菱形、矩形與正方形的形狀有差異，我們將菱形、矩形與正方形的接近程度稱為“接近度”.在研究“接近度”時，應保證相似圖形的“接近度”相等.

（1）設菱形相鄰兩個內角的度數分別為m°和n°，將菱形的“接近度”定義為|m - n|，于是，|m - n|越小，菱形越接近于正方形.

（2）設矩形相鄰兩條邊長分別是a和b（a > b），將矩形的接近度定義為，|a - b|于是|a - b|越小，矩形越接近于正方形.

你認為這種說法是否合理？若不合理，給出矩形“接近度”一個合理定義.

如上例題是在已學知識的基礎上，給出一個“新概念”，然后學習運用這個“新概念”解決相應問題，這樣的題目突出要求學生應具有以下的能力：第一，迅速而較強的數學理解能力，也即一種較高的抽象概括能力；第二，對“新概念”的運用能力，也即將新規律或規則具體化，實施化的能力，因此，這種問題的解決與實踐過程，能有效地查出學生數學學習能力. 這需要我們在平時的教學中關注：① 學生能否用恰當的數學語言表達自己的探索與論證過程（給出矩形“接近度”一個合理定義）. ② 在學習新概念時學生能否對概念的內涵和外延把握到位（應保證相似圖形的“接近度”相等）.

對學生數學學習過程的關注是一個系統的、全面的工程，本人只是就其中一個方面結合自身實踐談了一點看法. 但我相信只要我們堅持關注學生的數學學習過程和思維過程，學生的思維水平就能提升，思維方式就能得到改善，從而針對不同問題形成不同的數學思維模式，學生的數學解題能力也就水到渠成，更主要的是，學生從事數學活動的意識、能力和信心就會得到顯著提高.