談談定積分概念的教學

【摘要】設法細分曲邊梯形，以直代曲，求和，取極限，總結抽象概括出定積分概念.

【關鍵詞】曲邊梯形；分割；近似代替；求和；取極限；定積分；反思

微積分誕生在三百多年前，被科學家譽為人類思維的偉大成果之一，求瞬時速度、曲線的切線、最大最小值、面積體積等等，都是微積分產生的源泉.微積分已經在自然科學、工程技術、航天科技、生命科學、社會科學、管理科學、密碼學等各個領域內有著越來越廣泛的應用.微積分中的基本概念是極限、導數與微分、積分等，微分與積分是微積分學中的核心概念. 本文就定積分概念的教學談談自己的做法.

一、教師提出研究的問題，并作出必要的啟示或指引，讓學生思考

曲邊梯形的面積、變速運動質點所走的路程、變力做功、密度不均勻的幾何體的質量、幾何體的體積等等問題的求解方法和步驟，它們是不同的問題，但解決的方法步驟是相同的，是一類問題，有共同的解決途徑.

首先教師作出一個曲邊梯形，如何求它的面積？啟發學生思考，有的學生想到將曲邊梯形分割成矩形、三角形等等，但不盡如人意，出不來面積.教師啟發學生思考，假如你在大海上，看到的海面是球面還是平面？當然是平面，為什么？因為地球的半徑太大了，我們的目光所及實在是太有限了.再如：在一次高考的摸底考試中，班主任將同學們的成績排名，第20名與第21名的成績差距很小，或者說相鄰兩名同學的成績幾乎相當.又如：眾多的同學按高矮排隊，相鄰兩個的身高很接近，這是生活體驗，同學們是認同的.接下來指導學生將一個紙質的曲邊梯形剪成許多個小的曲邊梯形，拿出其中一個來，看看如何計算其面積，它近似于一個什么形狀.顯然是矩形，小的曲邊梯形的面積約等于矩形的面積，為底乘以高.這一步完成了分割、近似代替的思考.鼓勵學生大膽探索，突破常規思維，積極尋找各種解決問題的途徑，找到一個近似答案，就是曙光.

二、使學生回答思考結果，師生共同討論、分析、理解、歸納

那曲邊梯形的面積如何求呢？將一個個小的曲邊梯形的面積累加即可，得到了曲邊梯形的面積的近似值.我們要的是精確值，怎么辦？數學上又如何表示？一個小的曲邊梯形的面積怎樣表示？教師作出一個放大的小的曲邊梯形，在其底邊上任取一點，過這點作高，來代替小的曲邊梯形的平均高度，底乘以高就是小曲邊梯形的面積.這個“高”就是這一點的函數值， “底”就是小區間的長度.怎樣由近似值過渡到精確值？分割無限時，誤差要多小就有多小.理性思考，將分割無限下去，利用極限工具，當最長的區間長都趨于零時，和的面積的極限值就是我們要的精確值.這一步完成了求和取極限的思考.這是讓學生建立起初步的高等數學思維方式，培養學生探索創新的科學精神，樹立嚴謹的科學態度.

四、反思概念形成過程中蘊含的哲學思想

求曲邊梯形的面積經歷了四個階段： （1）分割；（2）取近似；（3）求和；（4）取極限.

由有限分割，得到的是近似值；再到無限分割，得到的是精確值，完成了從量變到質變的飛躍.思維也升華到了一定高度，無限思想.定積分概念不僅僅是一個純概念，而且是一種解決實際問題的數學思維方法，蘊含了哲學思想.要求學生學會這種思考方法，領會數學的精神實質.

五、定積分的幾何意義

關鍵一點是表示曲線圍成圖形的面積，當曲線在橫軸的上方時，積分為正，定積分就是所圍圖形的面積.當曲線在橫軸的下方時，積分為負，定積分是所圍圖形面積的相反數.

本課通過層層設問，引導學生突破傳統思想，不斷探索，完成了一個概念由實踐到理論再到實踐的過程，培養了學生的創新意識和探索精神，培養了學生嚴謹的科學態度，培養了學生運用理論知識解決實際問題的能力.