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談談定積分概念的教學

2013-12-31 00:00:00李曉嵐
數學學習與研究 2013年13期

【摘要】設法細分曲邊梯形,以直代曲,求和,取極限,總結抽象概括出定積分概念.

【關鍵詞】曲邊梯形;分割;近似代替;求和;取極限;定積分;反思

微積分誕生在三百多年前,被科學家譽為人類思維的偉大成果之一,求瞬時速度、曲線的切線、最大最小值、面積體積等等,都是微積分產生的源泉.微積分已經在自然科學、工程技術、航天科技、生命科學、社會科學、管理科學、密碼學等各個領域內有著越來越廣泛的應用.微積分中的基本概念是極限、導數與微分、積分等,微分與積分是微積分學中的核心概念. 本文就定積分概念的教學談談自己的做法.

一、教師提出研究的問題,并作出必要的啟示或指引,讓學生思考

曲邊梯形的面積、變速運動質點所走的路程、變力做功、密度不均勻的幾何體的質量、幾何體的體積等等問題的求解方法和步驟,它們是不同的問題,但解決的方法步驟是相同的,是一類問題,有共同的解決途徑.

首先教師作出一個曲邊梯形,如何求它的面積?啟發學生思考,有的學生想到將曲邊梯形分割成矩形、三角形等等,但不盡如人意,出不來面積.教師啟發學生思考,假如你在大海上,看到的海面是球面還是平面?當然是平面,為什么?因為地球的半徑太大了,我們的目光所及實在是太有限了.再如:在一次高考的摸底考試中,班主任將同學們的成績排名,第20名與第21名的成績差距很小,或者說相鄰兩名同學的成績幾乎相當.又如:眾多的同學按高矮排隊,相鄰兩個的身高很接近,這是生活體驗,同學們是認同的.接下來指導學生將一個紙質的曲邊梯形剪成許多個小的曲邊梯形,拿出其中一個來,看看如何計算其面積,它近似于一個什么形狀.顯然是矩形,小的曲邊梯形的面積約等于矩形的面積,為底乘以高.這一步完成了分割、近似代替的思考.鼓勵學生大膽探索,突破常規思維,積極尋找各種解決問題的途徑,找到一個近似答案,就是曙光.

二、使學生回答思考結果,師生共同討論、分析、理解、歸納

那曲邊梯形的面積如何求呢?將一個個小的曲邊梯形的面積累加即可,得到了曲邊梯形的面積的近似值.我們要的是精確值,怎么辦?數學上又如何表示?一個小的曲邊梯形的面積怎樣表示?教師作出一個放大的小的曲邊梯形,在其底邊上任取一點,過這點作高,來代替小的曲邊梯形的平均高度,底乘以高就是小曲邊梯形的面積.這個“高”就是這一點的函數值, “底”就是小區間的長度.怎樣由近似值過渡到精確值?分割無限時,誤差要多小就有多小.理性思考,將分割無限下去,利用極限工具,當最長的區間長都趨于零時,和的面積的極限值就是我們要的精確值.這一步完成了求和取極限的思考.這是讓學生建立起初步的高等數學思維方式,培養學生探索創新的科學精神,樹立嚴謹的科學態度.

四、反思概念形成過程中蘊含的哲學思想

求曲邊梯形的面積經歷了四個階段: (1)分割;(2)取近似;(3)求和;(4)取極限.

由有限分割,得到的是近似值;再到無限分割,得到的是精確值,完成了從量變到質變的飛躍.思維也升華到了一定高度,無限思想.定積分概念不僅僅是一個純概念,而且是一種解決實際問題的數學思維方法,蘊含了哲學思想.要求學生學會這種思考方法,領會數學的精神實質.

五、定積分的幾何意義

關鍵一點是表示曲線圍成圖形的面積,當曲線在橫軸的上方時,積分為正,定積分就是所圍圖形的面積.當曲線在橫軸的下方時,積分為負,定積分是所圍圖形面積的相反數.

本課通過層層設問,引導學生突破傳統思想,不斷探索,完成了一個概念由實踐到理論再到實踐的過程,培養了學生的創新意識和探索精神,培養了學生嚴謹的科學態度,培養了學生運用理論知識解決實際問題的能力.

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