柯西對當今大學數學分析的貢獻

【摘要】法國科學家柯西（Cauchy）是19世紀前半葉最杰出的數學分析家，他對分析學基礎嚴格化起了很大作用.本文從科學歷史發展的角度，簡述了柯西的工作對當今大學數學分析課程的作用，這將有益于理性思維的培養和形成嚴謹的科學作風.

【關鍵詞】柯西；微積分；極限；連續

很多學生在學習數學分析中對關于極限的ε-σ語言都不理解，從而對其望而生畏.而在學習過程中，柯西的名字頻頻出現.在極限論中有柯西收斂準則，在微分學中有柯西中值定理，在正項級數的斂散性中有所謂柯西檢驗法等等.這些結論在數學中的意義和地位如何呢？從邏輯角度來看，這些結論都與極限的數學定義密切相關.下面我們從科學歷史發展的角度，簡述為什么會產生ε-σ語言，也就不難理解柯西在數學分析乃至科學文化中的貢獻.

希臘文明認為，在觀察實驗的基礎上人類可憑借理性的力量發現宇宙的規律.畢達哥拉斯提出“萬物皆數”的觀點，又提出畢達哥拉斯定理，導致了第一次數學危機.而在約公元前5世紀，芝諾悖論又使希臘人的思想陷入了危機.到今天我們知道這里的危機涉及“無窮小”和“實數連續性”等問題.這個彎子實在是太大了，不僅是希臘人，就連伽利略、牛頓等人都沒有想明白[1]（P3）.在17世紀牛頓、萊布尼茲克服希臘數學嚴格演繹論證方法的束縛，通過想象和直觀推斷的思維方式，建立了一套行之有效的微積分計算方法.應該說這時的微積分還只是建立在力學和幾何直觀基礎上，原理和概念模糊，更缺乏邏輯證明，所以遭受了許多非議.然而由于微積分方法在實際應用中屢試不爽，使人們確信這一方法的正確性，于是人們便肆無忌憚地使用微積分方法來處理各種問題，如在廣義積分和級數理論中形式地應用運算規則，結果得到一些矛盾結果.這樣數學家一方面被微積分強有力的應用所吸引，另一方面也為胡亂地采用直觀和形式推演而感到困惑.最終導致人們對數學分析缺乏邏輯基礎的狀況不滿，認識到必須為這一領域建立嚴格的理論基礎.

首先提出改變分析基礎的是達朗貝爾，他于1754年提出：需要有極限理論[2]（P536）.但在1821年以前，此理論尚未完善.在此期間，拉格朗日1797年發表的巨著《解析函數論》對后來的數學研究產生深刻的影響.

嚴格的分析是從波爾查諾、柯西、阿貝爾和狄利克雷的工作開始，由維爾斯特拉斯進一步發展.在這方面當屬柯西和維爾斯特拉斯的工作最為重要.柯西撰寫了大約800部專著和論文，幾乎涉及了數學的所有分支.在微積分方面最為著名的三篇論文：《工科數學分析講義》（1821年）、《無窮小計算概要》（1823年）和《微分學講義》（1829年）.柯西1821年的研究是從變量的定義開始的.“把依次取許多互不相同的值的量叫做變量”.然后他又給出了極限與連續的定義.“如果賦予同一變量的連續不斷的一系列數值使其無限趨向于一個固定的值，使得最終它們與固定值的差按人們所希望的那樣小，則后者稱為所有其他數值的極限”[3]（P551）.柯西以圓面積作為例子來說明所給出極限定義的合理性.“稱函數f（x）是在變量x的兩個給定值之間的這個變量的連續函數是指對x在這些界限之間的每個值，差f（x+α）-f（x）的（絕對）值隨著α無限地變小[3]（P553）”.柯西又用極限概念將無窮小定義為極限是零的一個變量，他在定義中不提怎樣達到極限，僅僅是保持接近，所以這里沒有消逝的量，于是貝克萊所謂消逝量的鬼魂也就無從談起了，從而澄清了無窮小的神秘性，即將無窮小從形而上學的束縛中解放出來.進而又用極限定義了函數的導數、連續性、微分、積分、級數的收斂與發散等概念.通過柯西的定義形成了與現在的定義形式相差無幾的數學分析概念，同時使得這些基本概念擺脫了物理學科，將分析學形成了一個以極限為基礎的嚴格的理論體系.柯西的成功在于他成功地處理了變量與常量、無限與有限的關系，從這些關系中抽象出它們既對立又統一的共性，得到了一個能反映數學分析本質的概念——極限，由此使得數學分析理論取得了重大突破.

柯西的工作在一定程度上澄清了微積分基礎問題上存在的混亂，他的理論只能說是“比較嚴格”，即柯西的理論實際上也存在著漏洞[4]（P250）.例如，在上述的定義中用了“無限趨近”、“想要所希望的那樣小”等直觀描述的語言.在19世紀中葉以前，對于什么是實數并沒有明確的定義.當時的數學家對實數系本身仍以直觀的方式來理解，所以在柯西的工作中也出現了錯誤，如柯西斷言：“如果一個多變量函數分別對每個變量是連續的，則它對于所有變量都連續”[5]（P7），現在知道這是不正確的.柯西也曾指出：“如果認為只有在幾何證明里或者在感覺的證據里才有必然，那會是一個嚴重的錯誤.”[5]（P1）

柯西只是定性地描述了極限概念，所以還不是真正的嚴格，其理論體系尚有不足之處.維爾斯特拉斯攻擊“一個變量趨于一個極限”的說法.為了克服柯西極限定義中“無限趨近”和“想要所希望的那樣小”等不明確性，維爾斯特拉斯給出了極限的ε-σ定義，其極限定義只涉及實數系問題.由此維爾斯特拉斯提出分析算術化的設想.后經戴德金等努力，發展成當今的數學分析理論.在此發展過程中，柯西的工作向分析的全面嚴格化邁出了關鍵的一步，所以今天將柯西譽為數學嚴格化現代紀元的奠基人.我們在學習柯西理論體系的同時，更要學習他對待科學的嚴謹態度與敏捷的思維方式.

【參考文獻】

[1]齊民友.重溫微積分[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]霍華德·伊夫斯.數學史概論[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2009.

[3]卡茨.數學史通論（第2版）.北京：高等教育出版社，2002.

[4]李文林.數學史概論（第2版）.北京：高等教育出版社，2002.

[5]莫里斯·克萊因.古今數學思想（第四冊）[M].上海：上海科學技術出版社， 2002.