高等代數(shù)與解析幾何課程合并的思考

【摘要】高等代數(shù)和解析幾何都是高等院校的數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課程.本文說(shuō)明了把高等代數(shù)和解析幾何兩門課程合并的內(nèi)在合理性和可行性，并提出了合并之后在教學(xué)過程中應(yīng)注意的事項(xiàng).

【關(guān)鍵詞】高等代數(shù)；解析幾何；合并

【基金項(xiàng)目】本文系貴州民族學(xué)院校級(jí)課題資助的項(xiàng)目

一、引 言

在郭昀的《高等代數(shù)與解析幾何課程合并的可行性分析》一文從歷史原因、 高等代數(shù)與解析幾何兩門課程的內(nèi)容及相互關(guān)系和教育改革的要求三個(gè)方面闡述了進(jìn)行課程改革的可行性.在《高等代數(shù)與解析幾何課程整合的思考》中，作者提出了突出幾何直觀，關(guān)注代數(shù)思維.結(jié)合我校現(xiàn)在實(shí)行的數(shù)學(xué)專業(yè)的課程設(shè)置進(jìn)行反思，課程設(shè)置久未更新，學(xué)科劃分太細(xì)，各學(xué)科間缺乏內(nèi)在聯(lián)系，與中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)脫節(jié).本文在自己幾年教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了高等代數(shù)和解析幾何教學(xué)改革的一點(diǎn)思考.

二、教學(xué)改革提出的背景

高等代數(shù)和解析幾何是絕大多學(xué)高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課程.從歷史上看，代數(shù)與幾何的發(fā)展從來(lái)就是相互聯(lián)系、相互促進(jìn)的.從邏輯結(jié)構(gòu)上來(lái)說(shuō)，它們有不少相似或平行之處，因此許多人想把它們合并起來(lái)以節(jié)省課時(shí).隨著高校教育的改革，越來(lái)越多的高等院校的數(shù)學(xué)專業(yè)把這兩門課合并起來(lái)，這樣既可精簡(jiǎn)課時(shí)，又可使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中弄清課程的內(nèi)在聯(lián)系.

教學(xué)內(nèi)容和課程的改革是提高教學(xué)質(zhì)量的重要一環(huán)，我們雖然是綜合性的大學(xué)，但百分之八十?dāng)?shù)學(xué)專業(yè)的畢業(yè)生最后都在中學(xué)任教，因此，我認(rèn)為高等代數(shù)和解析幾何課程的改革可以借鑒一下大多數(shù)師范院校的做法.

我校的數(shù)學(xué)專業(yè)共有七門必修課程，高等代數(shù)和解析幾何就占了兩門.其中高等代數(shù)兩個(gè)學(xué)期共用198個(gè)學(xué)時(shí)，解析幾何一個(gè)學(xué)期用72學(xué)時(shí).在學(xué)習(xí)的時(shí)候，這兩門課程往往被學(xué)生理解為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的兩個(gè)不同分支，在解決問題的時(shí)候往往也會(huì)被分開考慮.而實(shí)際上，高等代數(shù)和解析幾何是有著密切的內(nèi)在聯(lián)系的，這兩門課互為問題互為方法.高等代數(shù)和解析幾何是學(xué)生在大學(xué)時(shí)期非常關(guān)鍵的兩門課程，是順利進(jìn)行后繼學(xué)習(xí)的基礎(chǔ). 然而，如何安排這兩門課程存在著很大的矛盾.如果安排在第一學(xué)期會(huì)出現(xiàn)高等代數(shù)的有些內(nèi)容尚未學(xué)習(xí)，無(wú)法理解解析幾何中后兩章的計(jì)算，而只能死記硬背.如果安排在第二學(xué)期，將導(dǎo)致高等代數(shù)前幾章的學(xué)習(xí)不能及時(shí)地用解析幾何中的直觀圖形來(lái)加以解釋.所以如何使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)和運(yùn)用這兩門課是現(xiàn)在亟待解決的問題.另外，在課堂上如何更加合理地安排課程使學(xué)生能夠真正理解這兩門課的內(nèi)在聯(lián)系，真正體會(huì)到它們互為問題互為方法也是很關(guān)鍵的.

三、高等代數(shù)和解析幾何合并的可行性

（一）高等代數(shù)和解析幾何合并的課程改革是專業(yè)發(fā)展的需要

我校的數(shù)學(xué)專業(yè)的畢業(yè)生百分之八十都在中學(xué)但任數(shù)學(xué)教師，作為培養(yǎng)中學(xué)教師必備的高等代數(shù)和解析幾何兩門課程面臨著中學(xué)數(shù)學(xué)嚴(yán)格化和現(xiàn)代化的挑戰(zhàn)，所以必須壓縮傳統(tǒng)的內(nèi)容的課時(shí)，加強(qiáng)現(xiàn)代化內(nèi)容的課時(shí)，以提高教學(xué)效率.在中學(xué)數(shù)學(xué)里，“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的思想，使代數(shù)與幾何的思想相互滲透，是學(xué)生獲得“數(shù)”與“形”結(jié)合的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).

（二）高等代數(shù)和解析幾何合并是符合自身的特點(diǎn)

高等代數(shù)所討論的是從具體到抽象，從特殊到一般，培養(yǎng)的是邏輯思維能力.解析幾何是用代數(shù)方法解決幾何問題.從兩門課的內(nèi)容上看有很多重復(fù)的內(nèi)容，向量空間、 向量、 向量的線性運(yùn)算、 線性相關(guān)性、 歐氏空間、 內(nèi)積、 向量的坐標(biāo)、 坐標(biāo)變換、線性變換、 特征方程、 特征根、 正交變換等.高等代數(shù)有深刻的幾何背景，而解析幾何是用代數(shù)方法解決幾何問題.高等代數(shù)中的向量空間是解析幾何中三維向量空間的推廣.解析幾何為高等代數(shù)提供了一個(gè)直觀的、實(shí)實(shí)在在的模型和背景.高等代數(shù)中的主要研究對(duì)象——矩陣，就是幾何中的線性變換產(chǎn)生的.例如，高等代數(shù)中正交矩陣來(lái)自于正交變換，我們?nèi)绻阉胂蟪勺鴺?biāo)系繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)就很容易理解了.相比較而言二次型算是高等代數(shù)中比較容易的內(nèi)容，而在解析幾何中二次曲面的研究學(xué)生學(xué)起來(lái)卻頗有難度，實(shí)際上二次型就是二次曲面的代數(shù)表達(dá)式，我們對(duì)二次曲面化簡(jiǎn)的過程就是計(jì)算二次型的標(biāo)準(zhǔn)型的過程.但是在實(shí)際的學(xué)習(xí)過程中這兩部分卻無(wú)法聯(lián)系起來(lái)，因?yàn)檫@兩部分內(nèi)容分別安排在兩個(gè)學(xué)期.另外，行列式的計(jì)算是在學(xué)習(xí)高等代數(shù)時(shí)最早掌握的也是最熟練的.判斷三個(gè)向量是否共面是解析幾何中我們必須掌握的內(nèi)容.我們就是利用三個(gè)向量的行列式是否為零來(lái)判斷的.

高等代數(shù)和解析幾何的合并會(huì)不會(huì)強(qiáng)調(diào)了代數(shù)而忽略了幾何呢？為了避免這種情況出現(xiàn)我們?cè)诤喜⒅筮m當(dāng)?shù)卦黾佣嗝襟w教學(xué).在解析幾何中很多曲面是在黑板上無(wú)法完全展現(xiàn)它的特征的，我們可以借助數(shù)學(xué)軟件會(huì)出曲面的側(cè)面圖、截面圖、俯瞰圖和動(dòng)畫等等來(lái)更加全面地了解三維空間的曲面.這也有助于我們?cè)谙胂笾袠?gòu)造高維空間.

（三）高等代數(shù)和解析幾何合并符合教育改革發(fā)展的要求

隨著基礎(chǔ)教育的不斷深化，數(shù)學(xué)教師的素質(zhì)與新課程的嚴(yán)重不適應(yīng)已成為當(dāng)前教育改革的主要問題.如何改變數(shù)學(xué)專業(yè)的課程設(shè)置，轉(zhuǎn)變模式培養(yǎng)和提高學(xué)生的綜合素質(zhì)已成為當(dāng)前的重要問題.一方面，從畢業(yè)生的就業(yè)去向考慮，讓學(xué)生成為能夠應(yīng)付職業(yè)選擇中的各種挑戰(zhàn)的高水平人才.另一方面，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的要求也發(fā)生了變化，更強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)研究方法的理解，更注重?cái)?shù)學(xué)公式、定理和概念的來(lái)龍去脈和其中所包含的數(shù)學(xué)思想和方法.關(guān)注學(xué)科間的關(guān)聯(lián)，關(guān)注不同領(lǐng)域的內(nèi)在聯(lián)系是當(dāng)前教育教學(xué)改革的整體趨勢(shì).高等代數(shù)和解析幾何的課程改革也是基于教育理念的這些變化的必然趨勢(shì).

四、高等代數(shù)和解析幾何課程合并之后應(yīng)該注意的事項(xiàng)

（一）選取合適的教材

現(xiàn)在越來(lái)越多的高校都把這兩門課合并成一門課，也因此出現(xiàn)了許多的教材.這些教材各有特色，如華東師范大學(xué)陳志杰教授主編的《高等代數(shù)與解析幾何》是較早的一本教材，其中利用數(shù)學(xué)軟件Maple畫出了各種二次曲面和復(fù)雜的圖形，讓我們對(duì)幾何部分能夠更好地理解.華中師范大學(xué)樊惲教授主編的《線性代數(shù)與幾何引論》是21世紀(jì)高等院校教材，這本書每個(gè)部分都有個(gè)實(shí)際應(yīng)用的模型，如昂捷列夫經(jīng)濟(jì)模型、列利斯群體模型等等.

（二）存在的問題

在高等代數(shù)和解析幾何合并之前，兩門課程分別有完整的理論體系和嚴(yán)格的邏輯推理.但是，這兩門課程的合并，大多數(shù)教材都是以高等代數(shù)為主線，解析幾何為輔線來(lái)編寫的，這導(dǎo)致了解析幾何成了高等代數(shù)中的某些例子，使得原來(lái)有嚴(yán)格邏輯體系的解析幾何不成體系了，勢(shì)必會(huì)造成學(xué)生對(duì)解析幾何的忽略.為了解決這個(gè)問題我們可以在課堂上增加多媒體教學(xué)的課時(shí)，用來(lái)展現(xiàn)空間曲面的幾何圖形，給學(xué)生留下深刻的印象.另外，在高等幾何和微分幾何的課程中加強(qiáng)教學(xué)以彌補(bǔ)解析幾何中的缺陷.

五、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，把高等代數(shù)和解析幾何合并成一門課程是很有意義的一次嘗試，但要真正做到水乳交融，融會(huì)貫通，還需要做這方面研究的老師的積極參與.

【參考文獻(xiàn)】

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[3]張敏.高等代數(shù)與解析幾何 合并設(shè)課的教學(xué)改革.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2003（11）：117-118.

[4]陳志杰.高等代數(shù)與解析幾何.北京：高等教育出版社，2001.

[5]樊惲，鄭延履.線性代數(shù)與幾何引論.北京：科學(xué)出版社，2004.