淺析數(shù)學(xué)建模的方法與步驟

【摘要】本文一開始介紹數(shù)學(xué)模型的定義，然后通過(guò)一個(gè)應(yīng)用題引出簡(jiǎn)單地?cái)?shù)學(xué)模型，并由此得出數(shù)學(xué)建模的方法和步驟，最后用一個(gè)實(shí)例對(duì)以上提出的數(shù)學(xué)建模定義、方法及步驟做了全過(guò)程的詳解.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模；方法；步驟

一、什么是數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)單地講就是用數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法去解決實(shí)際問(wèn)題.要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，應(yīng)該了解如下與數(shù)學(xué)建模有關(guān)的概念：

原型：人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界里關(guān)心、研究或從事生產(chǎn)、管理的實(shí)際對(duì)象稱為原型.原型有研究對(duì)象、實(shí)際問(wèn)題等.

模型：為某個(gè)目的將原型的某一部分信息進(jìn)行簡(jiǎn)縮、提煉而構(gòu)成的原型替代物稱為模型.

數(shù)學(xué)模型：由數(shù)字、字母或其他數(shù)學(xué)符號(hào)組成，描述實(shí)際對(duì)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式、圖形或算法稱為數(shù)學(xué)模型.

二、數(shù)學(xué)建模的方法和步驟

數(shù)學(xué)建模乍一聽起來(lái)似乎很高深，但實(shí)際上并非如此.例如，在中學(xué)的數(shù)學(xué)課程中我們做應(yīng)用題而列出的數(shù)學(xué)式子就是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，而做題的過(guò)程就是在進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模.下面我們用一道代數(shù)應(yīng)用題求解過(guò)程來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)建模的步驟.

例 一個(gè)籠子里裝有雞和兔若干只，已知它們共有8個(gè)頭和22只腳，問(wèn)：該籠子中有多少只雞和多少只兔？

解 設(shè)籠中有雞x只，有兔y只，由已知條件有

x+y=8，

2x+4y=22.

求解如上二元方程后，得解x=5，y=3，即該籠子中有雞5只，有兔3只.將此結(jié)果代入原題進(jìn)行驗(yàn)證可知所求結(jié)果正確.

根據(jù)例題可以得出如下的數(shù)學(xué)建模步驟：

（1）根據(jù)問(wèn)題的背景和建模的目的作出假設(shè)（本題隱含假設(shè)雞、兔是正常的，畸形的雞、兔除外）.

（2）用字母表示要求的未知量.

（3）根據(jù)已知的常識(shí)列出數(shù)學(xué)式子或圖形（本題中常識(shí)為雞、兔都有一個(gè)頭，且雞有2只腳，兔有4只腳）.

（4）求出數(shù)學(xué)式子的解答.

（5）驗(yàn)證所得結(jié)果的正確性.

如果想對(duì)某個(gè)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，通常要先了解該問(wèn)題的實(shí)際背景和建模目的，然后查找收集與建模要求有關(guān)的資料和信息為接下來(lái)的數(shù)學(xué)建模做準(zhǔn)備.這一過(guò)程稱為模型準(zhǔn)備.要想把實(shí)際問(wèn)題變?yōu)閿?shù)學(xué)問(wèn)題還要對(duì)其進(jìn)行必要合理的簡(jiǎn)化和假設(shè)，這一過(guò)程稱為模型假設(shè).有了模型假設(shè)后，就可以選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具并根據(jù)已知的知識(shí)和收集的信息來(lái)描述變量之間的關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（如數(shù)學(xué)公式、定理、算法等）了，這一過(guò)程稱為模型構(gòu)成.在模型構(gòu)成中建立的數(shù)學(xué)模型可以用各種傳統(tǒng)的和現(xiàn)代的數(shù)學(xué)方法對(duì)其進(jìn)行求解，還要對(duì)獲得結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，這一過(guò)程稱為模型求解與分析.把模型在數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果與研究的實(shí)際問(wèn)題作比較以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇苑Q為模型檢驗(yàn).利用建模中獲得的正確模型對(duì)研究的實(shí)際問(wèn)題給出預(yù)報(bào)或?qū)︻愃茖?shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析、解釋和預(yù)報(bào)，以供決策者參考稱為模型應(yīng)用.

要指出的是上述數(shù)學(xué)建模的一般步驟中的每個(gè)過(guò)程不必在每個(gè)建模問(wèn)題中都要出現(xiàn)，只要反映出建模的特點(diǎn)即可.

三、數(shù)學(xué)建模示例

四足動(dòng)物的軀干（不包括頭、尾）的長(zhǎng)度和它的體重有什么關(guān)系？這個(gè)問(wèn)題有一定的實(shí)際意義.比如，生豬收購(gòu)站的人員或養(yǎng)豬專業(yè)戶，如果能從生豬的身長(zhǎng)估計(jì)它的重量可以給他們帶來(lái)很大方便.

模型準(zhǔn)備：四足動(dòng)物的生理構(gòu)造因種類不同而異，如果陷入生物學(xué)對(duì)復(fù)雜的生理結(jié)構(gòu)的研究，將很難得到什么有價(jià)值的模型.為此我們可以在較粗淺的假設(shè)的基礎(chǔ)上，建立動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重的比例關(guān)系.本問(wèn)題與體積和力學(xué)有關(guān)，收集與此有關(guān)的資料得到彈性力學(xué)中兩端固定的彈性梁的一個(gè)結(jié)果：

長(zhǎng)度為L(zhǎng)的圓柱形彈性梁在自身重力f作用下， 彈性梁的最大彎曲v與重力f和梁的長(zhǎng)度立方成正比，與梁的截面面積S和梁的直徑d平方成反比，即v∝f·L3Sd2.

利用這個(gè)結(jié)果，我們采用類比的方法給出假設(shè).

模型假設(shè)：1.設(shè)四足動(dòng)物的軀干（不包括頭、尾）為長(zhǎng)度為L(zhǎng)、斷面直徑為d的圓柱體，體積為m.

2.四足動(dòng)物的軀干（不包括頭、尾）重量與其體重相同，記為f.

3.四足動(dòng)物可看作一根支撐在四肢上的彈性梁，其腰部的最大下垂對(duì)應(yīng)彈性梁的最大彎曲，記為v.

模型應(yīng)用：如果對(duì)于某一種四足動(dòng)物，比如生豬，可以根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定公式中的比例常數(shù)k而得到用該類動(dòng)物的軀體長(zhǎng)度估計(jì)它的體重的公式.

【參考文獻(xiàn)】

姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型（第三版）.北京：高等教育出版社，2005.