兩個計數原理在解題中的應用

分類計數原理與分步計數原理這兩個關于計數的基本原理是在人們大量實踐經驗的基礎上歸納出來的基本規律，是推導排列數、組合數計算公式的依據，而且其基本思想方法貫穿在解決有關排列、組合應用問題的始終.對于這兩個計數原理，教學中很多教師都著重強調在解題時要注意弄清楚是分類還是分步，如何分類或分步，它們的區別或聯系是什么等.但部分學生在運用原理解題時經常找不到頭緒，思維混亂，亂寫一氣.原因在于對原理理解不透，掌握概念不到位.如果能從思考原理中的“完成一件事”指的是什么這一角度出發，往往可以很快找到解題思路.

例1 4名同學分別參加學校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的1個運動隊，不同報名方法的種數是34還是43？

部分學生對先34還是43猶豫不決，認為兩個都有道理.他們認為若以球隊為主線思考，足球隊可招來4人中的1人、2人、3人、4人，共4種不同報名方法，同樣，另兩個隊也分別有4種報名方法，所以共有4×4×4=43種.

其實以上解題理由不充分，因為足球隊也可以沒招到4人中的任何一個，不同的報名方法不是4種而是5種.若足球隊招來了這4人，則籃球隊、乒乓球隊只有沒人報這一種可能……這種“分步”頭緒繁雜，容易出現遺漏或重復.這是因為步驟間互相制約，沒有明確怎樣的招法才算是一種結果.

解決問題時應緊扣兩個原理的定義：“完成一件事……共有N種不同的方法.”關鍵是弄清楚“完成一件事”指的是什么？在這里，“4名同學都報名完畢”就算“完成一件事”.所以，很自然地可以以同學為主線思考：第一名同學有3種不同選擇，同樣第二名、第三名、第四名同學也有3種不同選擇，方法種數為3×3×3×3=34種.

誠然，教學中可按以上兩種主線慢慢分析、展示用分類加分步的方法來解題的具體過程，使學生真正理解兩個計數原理在解題中的應用.但強調從“看看完成一件事指的是什么”這個角度來思考問題，可以快速地弄清題意，得到正確解法.在教材后繼章節排列、組合、概率的學習中，從這個角度解題對保持頭腦清醒仍然有效.

例2 從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質的3塊土地上進行試驗，有多少種不同的種植方法？

可見，把握計數原理的本質，要計算完成一件事的方法總數，先弄清楚“完成一件事”指的是什么，可使我們很快地找到解題思路.定義中看似平平常常的一句話，它的作用是不容忽視的.它提醒我們，在概念教學中必須咬文嚼字，使學生真正理解定義的含義并能運用到解題中.