線性方程組的解法探討及MATLAB實現

【摘要】給出了線性方程組的分類，總結并探討了線性方程組的四種常用解法，針對非齊次線性方程組的解的三種情形，通過例題給出MATLAB求解的方法.

【關鍵詞】線性方程組； 解法； MATLAB

【中圖分類號】O151.2

【文獻標識碼】A

為線性方程組（1）的增廣矩陣，記作A.

若在方程組（1）中，當mn，即方程的個數多于未知數的個數時，方程組稱為超定方程組.

二、線性方程組的解法

在線性代數課本中[1，2]，線性方程組的常見解法主要有：消元法、克萊姆（Cramer）法則、逆陣乘積法、初等行變換法等.下面將就以上各種方法予以總結說明.

（一）消元法

消元法主要是初等數學中用來求解低階線性方程組常用的方法，方程組必須為適定方程組，且方程組中未知量的個數有兩個或三個，當未知量的個數不斷增大時，計算量大幅增加，解題效率降低以至于不能求解.消元的方法一般有兩種即加減消元法和代入消元法.

（二）克萊姆（Cramer）法則

克萊姆（Cramer）法則僅適用于求解系數行列式不為零的適定方程組，對于系數行列式為零的適定方程組、欠定方程組、超定方程組則是不適用的，并且對于未知數多于4個的適定方程組，用克萊姆（Cramer）法則筆算求解的運算量也是非常大的，解題效率會非常低.

（三）逆陣乘積法

把線性方程組（1）記為AX=b的形式后，若m=n，且系數矩陣A可逆，則X=A-1b.

逆陣乘積法求解線性方程組的關鍵是要求出系數矩陣A的逆矩陣，求逆矩陣的方法主要有伴隨矩陣法和初等變換法兩種，初等變換法比伴隨矩陣法在求逆矩陣時的運算量要小，效率高，特別是在求高階矩陣的逆矩陣時初等變換法的效率更高.但遺憾的是逆陣乘積法也僅適用于求解系數矩陣可逆（即行列式不為零）的適定方程組，對于行列式為零的適定方程組和欠定方程組、超定方程組則是不適用的.

（四）初等行變換法

初等行變換法的具體做法是：對方程組AX=b的增廣矩陣A做初等行變換變為行階梯型矩陣或行最簡形矩陣，得到增廣矩陣A的等價矩陣，從而得到與原方程組等價且容易求解的方程組. 然后根據系數矩陣的秩和增廣矩陣的秩的關系討論方程組的解的情況.當R（A）=R（A）=n時，方程組AX=b有唯一解；當R（A）=R（A）=r

當根據系數矩陣的秩和增廣矩陣的秩的關系討論方程組的解的情況后，若方程組AX=b有唯一解，則對增廣矩陣A做初等行變換所得的行最簡形矩陣的最后一列即為方程組的解；若方程組有無窮多組解，則可以根據線性方程組解的結構求其通解.具體做法是：先求出齊次線性方程組的基礎解系，寫出齊次線性方程組的通解，再加上非齊次線性方程組的一個特解，即可得非齊次線性方程組的通解.而所有求解過程只需解與增廣矩陣等價的方程組即可.

用初等行變換法可以求解任何類型的線性方程組，是求解線性方程組的普適方法，和其他方法比起來具有更大的優越性.

三、用Matlab軟件求解線性方程組

Matlab是由美國MathWorks 公司開發的一種功能強大的科學及工程計算軟件，它的名字由“矩陣實驗室”的英文Matrix Laboratory的縮寫組合而來.用Matlab軟件可以進行線性代數的各種運算，包括諸如求行列式的值、求矩陣的秩、向量組的秩及極大線性無關組、解線性方程組、求方陣的特征值及特征向量、求二次型的標準型等問題；此外還可以通過繪圖命令，對線性代數中若干概念的幾何意義進行分析和討論，使學生更好地理解線性代數的抽象概念.下面針對非齊次線性方程組解的三種情形，通過例題給出Matlab求解的方法及求解過程.

在兩種解法中求出的特解不同是因為該方程組有無窮多組特解，通解中只需要任取一個特解即可.

【參考文獻】

[1]王尚平，李艷麗.線性代數（第2版）[M].北京：機械工業出版社，2006.

[2]秦新強，趙鳳群.線性代數學習指導（第2版）[M].北京：機械工業出版社，2007.

[3]楊威，高淑萍. 線性代數機算與應用指導（Matlab版） [M].西安：西安電子科技大學出版社，2009.