導數的應用

【摘要】導數是一個知識獨特、應用廣泛，與初、高等數學銜接緊密的重要內容，是近代數學的重要基礎，它的引入為解決數學問題提供了新的視野， 是求解析幾何中曲線的切線、證明不等式、研究函數性質、探求函數的極值及最值和解決一些實際問題等等的有力工具.本文擬就導數的應用，談一點個人的認識，希望學生學會怎樣依據問題本身所提供的信息，利用動態思維，尋找和選擇有利于問題解決的變換途徑和方法，從而加強對導數的理解和應用.

【關鍵詞】導數；函數的單調性；極值；最值；不等式

（二）利用導數求函數的極值、最值

對于可導的函數而言，函數在某處取得極值，則函數在此處導數必等于0；反之，若導數在某處值為零，則函數在該駐點不一定取得極值，還需進一步檢驗導函數在駐點左右兩邊的符號變化，即要理解可導函數的極值點必為駐點，但駐點卻不一定為極值點的含義.

主要方法步驟：

六、導數在經濟分析中的應用

導數是函數關于自變量的變化率，在經濟工作中，也存在變化率的問題，著名的邊際分析就是用求函數導數的方法解決邊際變化問題的.在經濟學中，如果某經濟指標與影響指標的因素之間成立函數關系y=f（x），那么稱導數y=f′（x）為f（x）的邊際函數.對于企業經營來說，進行邊際分析是非常重要的，企業如果離開邊際分析而盲目生產，就會造成資源的巨大浪費.導數作為邊際分析的重要工具，可以給企業決策者提供客觀、準確的依據，從而作出合理的決策.在經濟活動中利用導數工具涉及的邊際變化有：邊際成本、邊際收益、邊際利潤等.下面以邊際利潤為例說明導數在經濟分析中的作用.

例9 某企業加工某產品的總成本函數為C（x）=100+4x+0.03x2，總收入函數為R（x）=10x+0.02x2，求邊際利潤函數和當日產量分別為200公斤、300公斤和400公斤時的邊際利潤，并且說明經濟意義.

解 ①總利潤函數為L（x）= R（x）- C（x）=6x- 100-0.01x2，

則根據定義，邊際利潤函數為L′（x）=6-0.02x.

②當日產量分別為200公斤、300公斤和400公斤時的邊際利潤分別為

L′（200）=2，L′（300）=0，L′（400）=-2.

其經濟意義為：當日產量為200公斤時，再增加1公斤，則總利潤可增加2元；當日產量為300公斤時，再增加1公斤，則總利潤無增加；當日產量為400公斤時，再增加1公斤，則反而虧損2元.

結論：當企業的某一產品的生產量超越了邊際利潤的駐點L′（x）=0時，反而使企業無利潤.

【參考文獻】

[1]李國華.導數的應用.牡丹江教育學院學報，2011（2）.

[2]夏大鵬.導數的應用芻議. 湖北廣播電視大學學報， 2010（2）.