建立數(shù)學(xué)模型用于口岸傳染病控制實踐分析

1.緒 言

我們平常經(jīng)常說到的傳染病，實際上是由病原微生物入侵人體所引發(fā)的一系列疾病，它能夠通過人體、動物和其他的我們經(jīng)常可以接觸到的貨品進(jìn)行傳播，并可以形成較為廣泛的流行和傳播.當(dāng)下，各種各樣的傳染病的威脅一直都存在，譬如說流行性的感冒、乙肝病毒結(jié)腸炎等等，都會對人類的健康形成非常大的危害.世界上的許多國家都對口岸傳染病進(jìn)行了極其嚴(yán)格的控制，并通過數(shù)學(xué)模型建立起了一套可以有效預(yù)測的系統(tǒng).預(yù)測系統(tǒng)可以根據(jù)人群的特征、相關(guān)的社會現(xiàn)狀以及相應(yīng)的傳播規(guī)律，通過數(shù)學(xué)知識中的模型結(jié)構(gòu)來對疾病的發(fā)展過程進(jìn)行詳細(xì)的模擬，從而揭示出疾病流行的規(guī)律，并對其可能會發(fā)展的規(guī)律作出科學(xué)合理的預(yù)測，對產(chǎn)生病原的因素進(jìn)行解析，最終找出可以進(jìn)行預(yù)防和控制的最有優(yōu)化的策略，為防止傳染病毒的進(jìn)一步擴(kuò)散做好基礎(chǔ).

2.口岸傳染病傳播與控制數(shù)學(xué)模型的基本形式

在口岸傳染病的數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程中，一般而言均是采納Kermack與McKendrick于1927年提出的通過動力學(xué)的知識所建立起來的SIR模型.這種模型的基本結(jié)構(gòu)就是N（t）=S（t）+I（t）+R（t）.結(jié)構(gòu)中的S（t）指的是容易被感染的群體，具體指的是雖然當(dāng)下沒有染上傳染病毒，但是極有可能被感染的一類群體；結(jié)構(gòu)中的I（t）指的是已經(jīng)被感染的群體，具體指的是在t時刻已經(jīng)被感染成為病毒攜帶者，并有機(jī)會感染到其他人的人群；結(jié)構(gòu)中的R（t）指的是已經(jīng)恢復(fù)者，具體指的是在t時刻被順利從感染群體中移除的群體.我們在這個過程中假設(shè)總?cè)丝谑荖（t），最后就會順利得到公式，即為N（t）=S（t）+I（t）+R（t）.

我們注意到，這個模型的建立主要有以下幾個假設(shè)：其一，不去考慮人口的變化流動狀態(tài)，即保證人口一直是一個常數(shù)；其二，一旦病人和一個普通人接觸，那么就肯定會感染到病毒，我們可以假設(shè)在單位時間內(nèi)，一個病人可能會感染到的數(shù)目和在這個環(huán)境中易感者的比率成正比，比例系數(shù)是β，就可以很容易推算出在單位時間內(nèi)，所有病人的傳染數(shù)目就是β S（t）I（t）；其三，在t時刻，單位時間內(nèi)從染病者中移出的具體人數(shù)和具體的感染病毒者是成正比的，比例系數(shù)是γ，那么可以推算出單位時間內(nèi)移除的感染者數(shù)量就是γ I（t）.用框架圖來表示就是：

S[]βSII[]γIR

通過觀察我們也可以看出，事實上這種模型的結(jié)構(gòu)非常粗糙，許多病毒傳染方面的專家之后對這個模型做了很多的補(bǔ)充與推廣.譬如說，如果我們不去考慮人口流動變化情況，也不去考慮病毒的潛伏期，數(shù)據(jù)模型就可以表示為以下幾種情況：

患病之后基本上不能治愈，可以稱之為是SI模型；患病之后可以治愈，但是恢復(fù)了之后卻不具備免疫力，我們將其稱之為是SIS模型；感染者從中移除之后獲得了終身的免疫能力，我們稱之為是SIR模型.病人在移除出感染者群體之后只是具備了階段性的免疫能力，過了這段時間之后，免疫力喪失之后還會再次的傳染.當(dāng)然，這是不考慮潛伏期的情況下，如果將潛伏期的因素考慮進(jìn)去，那么已經(jīng)受到感染但是并沒有發(fā)病的人，完全可以在SIR或SIRS模型的基礎(chǔ)上得到與之不同的但更為復(fù)雜的SEIR或SEIRS模型，在這個過程中，如果想要考慮種群動力學(xué)因素、年齡結(jié)構(gòu)等等更為復(fù)雜的因素，模型的具體參數(shù)也會發(fā)生相應(yīng)的改變，而且也會變得更加復(fù)雜.

除了上文所說的主流的數(shù)學(xué)模型、SIR模型之外，在利用數(shù)學(xué)模型來指導(dǎo)口岸傳播疾病的防控過程中，還有一些其他的模型，譬如說Markov模型、余弦模型、灰色預(yù)測模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等等.我們以Markov模型為例進(jìn)行簡要分析.

這種模型沒有后效性，就是在當(dāng)下的狀態(tài)中，根據(jù)傳染疾病的不同階段以及不同的狀態(tài)進(jìn)行概率的轉(zhuǎn)換和模擬.和其他的模型相比，這種模型能夠比較完整地反映傳染病的實際過程，比較適用于慢性疾病的研究.基本的模型如下：

S（k）=s（k-1）P=s（o）·Pk.

這種模型的主要步驟就是先收集有關(guān)的傳染病情的資料，一般不要超過6個，然后對各個狀態(tài)的頻率進(jìn)行統(tǒng)計，對一階的概率隨機(jī)矩陣進(jìn)行計算，根據(jù)之前的預(yù)測再對二階的概率隨機(jī)矩陣進(jìn)行計算，利用總體預(yù)算的結(jié)果進(jìn)行預(yù)測.我們也注意到，這種模型的預(yù)測結(jié)果是取決于一階轉(zhuǎn)移的概率矩陣，所以它肯定不是一成不變的，所以適合比較近期的傳染疾病預(yù)測.

3.口岸傳染病傳播與控制數(shù)學(xué)模型的實踐方向

在傳染病的控制過程與具體的時間工作過程中，由于客觀情況具有非常大的復(fù)雜性，譬如說要涉及年齡的層次與結(jié)構(gòu)、人口的流動變化以及隔離影響等多種因素，在當(dāng)下，傳染病數(shù)學(xué)建模的研究主要應(yīng)該在以下三個方向作出選擇和突破：其一是建立數(shù)學(xué)模型所涉及的因素越來越多，如果考慮時間的因素、感染者的年齡結(jié)構(gòu)問題、隔離的影響以及人口的流動性等因素，就必須要考慮建立起一個不僅具有時間停滯，還考慮到年齡的層次與結(jié)構(gòu)以及具備了很多的遷移傳染病的模型；其二是因為模型維數(shù)的不斷增長，而傳染病在大多數(shù)情況下是在多個群體內(nèi)交叉?zhèn)鞑サ模越⑵鹨粋€適合多種群體的傳染病模型就成了必然；其三，傳染病數(shù)學(xué)模型的建立也需要和其他的學(xué)科進(jìn)行聯(lián)系，譬如說傳染病的動力學(xué)、生物毒理學(xué)以及分子生物學(xué)等等，在與這些學(xué)科的緊密結(jié)合下，才有可能對于一些重要的傳染病有更為深入的認(rèn)識，譬如說SARS、禽流感等.由于數(shù)學(xué)模型現(xiàn)在越來越和實際的情況相結(jié)合，因此它也變得更為復(fù)雜化，在理論研究的過程中，勢必會遇到一系列全新的困難.所以在具體的研究過程中除了一些一直沿用的經(jīng)典方法之外，我們還需要引用一些新的方法與理論，譬如說非線性的分析方法等，來提高整體的研究效率.