解排列組合問題的幾個區別

【摘要】在高中數學教學中，排列組合應用問題是一個難點，學生在這部分內容的學習中，積極性高，但又常出現“會而不對”的現象，不經點撥還不知道錯在何處. 我認為在這部分內容的教學中，可以從下面幾個方面加以解決，使學生感悟解決此類問題的方法，從而真正掌握這部分知識.

【關鍵詞】和與積；排與組；和與差；積與商；重與漏

1.和與積的區別

分類計數原理和分步計數原理是解決排列組合應用題的最基本的工具，可以說對每道應用題我們都要考慮在計數的時候進行分類或分步處理，至于一些較復雜的事件，那么兩個原理還要綜合起來應用.而分類和分步的區別就是是否能獨立完成一件事，正確掌握這兩個工具，對解決排列組合應用題至關重要.

2.排與組的區別

排列和組合是計數問題中的兩類主要問題，它們形同實異，一字之差，能否正確的加以區分是解決問題的第一道坎. 排列與組合的實質是順序問題. 排列是講順序的，組合則不講順序. 在理論上二者容易區別，但一碰到具體問題就不大好區分了，這就需要根據問題的條件和要求，結合生活經驗做出判斷.

例1 平面內有10個點，以其中每兩個點為端點的線段共有多少條？以其中每兩個點為端點的有向線段共有多少條？

分析 前者中線段AB與線段BA是同一線段，與端點的順序無關，因此前者為組合問題；后者中有向線段AB與BA是不同的，因此與順序有關，是排列問題.

例2 由3個3和4個4可以組成多少個不同的七位數？

分析 由于許多組數、排隊問題都是有順序的，所以學生誤以為是排列問題. 實際上，交換相同的3 或4仍是原數，因此這是一個組合問題.

3.和與差的區別

即直接法和間接法.“和”指直接法，即直接求出符合題意的所有不同方法數，可將條件視為特殊元素或特殊位置，一般地，特殊者優先考慮，其余則“一視同仁”；“差”指間接法，采用“正難則反”的策略，從反面剔除不符合題意的部分.

例3 過三棱柱任意兩個頂點的直線中，異面直線共有多少對？

分析1 直接法，對各種情況的異面直線分類討論，側棱的條數為3條，且和每一條側棱異面的直線有4條；側面的對角線條數為6條，且和每一條側面對角線異面的直線有6條，且和每一條邊異面的直線有5條.已知直線l1與l2構成異面直線，則l2與l1也構成異面直線，因此異面直線共有12（3×4+6×5+6×5）=36（對）.

分析2 間接法，一個三棱錐可以確定3對異面直線，一個三棱柱可以組成C46-3=12個三棱錐，所以共有36對異面直線.

顯然，上例中間接法比直接法簡潔得多，那么是否不管什么問題用“減”法都比用“加”法簡單嗎？

4.積與商的區別

積、商問題指的是排列組合中一種重要的又不易區分的問題——分組與分配問題，部分定序問題.

（1）分組問題

例4 6本不同的書，分成三組，每組至少一本，有多少種不同的分法？

可見，在教學中一定要使學生注意“積”、“商”問題，即均勻或部分均勻分組時要用“商”，分配問題時要注意用“商”.

5.重與漏的區別

學生在排列組合學習過程中最常犯的錯誤，也是學習難點之一，就是解題中的重復、遺漏現象.

排列組合問題錯綜復雜，解法靈活多樣，教學中我們要引導學生理解和掌握常見的問題類型和常規的解題方法，這樣可以使學生少走彎路，辨析真偽，真正掌握這部分知識.