對兩道高考題的思考

思路一 如果使用分離變量求值域，在分類討論后出現(xiàn)a≤ex-1x的同時又需要對g（x）=ex-1x二次求導(dǎo)判斷出g（x）=ex-1x在x>0條件下單調(diào)遞增時，面臨g（x）=ex-1x的值域求解問題，當(dāng)x→0時g（x）的值趨近幾的問題.學(xué)生無法處理，進(jìn)而轉(zhuǎn)換思路，我們老師會想到羅必塔法則.

再看g（x）=ex-1x表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，實質(zhì)是兩點間的斜率公式，即g（x）=ex-e0x-0，當(dāng)x→0時，也就是導(dǎo)數(shù)的概念了，即函數(shù)u（x）=ex在x=0時的導(dǎo)數(shù)值，u′（0）=e0=1，所以函數(shù)g（x）=ex-1x的值域為（1，+∞），所以只需a≤1.

然而這一點很難去發(fā)現(xiàn)，所以對基本概念的理解與回歸值得我們?nèi)ド钏?

思路二 利用函數(shù)與方程的思想

對于ex-ax-1≥0，轉(zhuǎn)化為ax≤ex-1時，兩邊分別令函數(shù)g（x）=ax與h（x）=ex-1，只需在相應(yīng)的條件下，函數(shù)h（x）的圖像始終在g（x）的圖像的上方.利用圖像（如圖），易得兩個函數(shù)圖像都過原點，所以只需求曲線h（x）=ex-1在x=0處的切線即可.

思路三 如果直接令g（x）=ex-ax-1進(jìn)行分析，求導(dǎo)后仍需分類討論.

相比較，就本題而言圖像法較簡單、直觀.

對于這兩道高考試題的函數(shù)表達(dá)式，

1比2復(fù)雜一點，但都是以指數(shù)函數(shù)為模型.

對于含參不等式的恒成立問題方法的選取應(yīng)按照遇難遇煩則返的原則進(jìn)行處理.

又如，問題涉及或可轉(zhuǎn)化為下列不等式：

通過推理，然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題，利用所證導(dǎo)函數(shù)來構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

拉格朗日中值定理是溝通函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的橋梁，拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.由題目和方法，我們應(yīng)該意識到，在新增內(nèi)容上以及與高等數(shù)學(xué)的銜接處要仔細(xì)分析與研究.

【參考文獻(xiàn)】

華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析（第三版）（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2001.