“數(shù)列”教學(xué)有感

“數(shù)列”章節(jié)的知識，一直是高考考查的重點、熱點、難點，也因為其豐富深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、靈活多變的解題技巧，而成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個難點.筆者認(rèn)為，在處理數(shù)列問題時，思路之所以混亂，往往是源于我們尚未觸及其本質(zhì)；解題之所以困難，時常是因為沒能把握住關(guān)鍵.那么，如何在數(shù)列教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生探求本質(zhì)、把握關(guān)鍵呢？為此，筆者在數(shù)列教學(xué)過程中進行了一些嘗試，現(xiàn)與讀者分享.

一、以本為綱，挖掘本質(zhì)

在“數(shù)列”一章中，我們經(jīng)常會遇到一些構(gòu)思精巧的解題思路，究其本質(zhì)在于“消”.教材中有關(guān)數(shù)列四個常見公式的推導(dǎo)，為我們充分展示了化無限為有限的思路以及由之孵化而出的精妙消法.讓我們重新回顧一下這四個公式，換個角度或許會有新的收獲.

（1）執(zhí)果索因，由表及里.比如等差數(shù)列的通項an=a1+（n-1）d，眾所周知，它是由累加法推導(dǎo)而得.在教學(xué)中，我們往往會注重公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，卻忽略了花幾分鐘對公式形式加以反思這一環(huán)節(jié).內(nèi)容決定形式，公式是原理的外在表現(xiàn).通過對公式形式的反思，我們可以更加深刻地理解其內(nèi)涵.我們知道等差數(shù)列的定義可以解讀為差等于常數(shù)d，即an-an-1=d；或者差等于差，即an-an-1=an+1-an，通俗地講就是兩項關(guān)系或是三項關(guān)系.而通項中an=a1+（n-1）d，則只涉及an，可將其理解為一項.那么，就其本質(zhì)而言，等差數(shù)列通項的推導(dǎo)方法——累加法，是一種消法，是從等差定義中的兩項關(guān)系出發(fā)消剩an的方法.通項公式中的d便由此而來.也許有人會問，為何不用三項關(guān)系？其實道理很簡單——兩項到一項更近！至于a1，是我們所能羅列的極限——a2 -a1 =d；而n-1，則是一邊求和的結(jié)果.由此又可以發(fā)現(xiàn)，累加法的關(guān)鍵在于能否求和.又例，等比通項an=a1qn-1.如果忽略形式，那么等比通項與等差通項是一樣的：an是目的，q是起源（等比定義中的兩項關(guān)系），a1是羅列的結(jié)果，n-1是因為連乘了n-1項，也是今后諸如anan-1=nn-1等問題處理方法的鼻祖.

累加法和連乘法的本質(zhì)都是消，只是手段不同而已.由上述兩個例子我們可以看到，其實公式的形式中已經(jīng)體現(xiàn)了方法和原理，由因?qū)Ч倘皇墙虒W(xué)中常用的方式，執(zhí)果索因也是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要思路.

（2）追本溯源，體會經(jīng)典.比如等差數(shù)列求和公式：Sn=n（a1+an）2，這是一個關(guān)于高斯的流傳甚廣的故事.據(jù)E.T.貝爾考證，當(dāng)時布特納所提出的問題應(yīng)該是81297+81459+…+100899，而非傳說的從1加到100.其實問題的關(guān)鍵不在于數(shù)字的大小，而在于小高斯的算法究竟是50×（1+100），還是50（1+100）2呢？前者，是神童.因為他善于觀察，發(fā)現(xiàn)首尾相加的規(guī)律，能遵循規(guī)律找到方法.后者，則為大師.因為他在前者的基礎(chǔ)上看到了問題的關(guān)鍵——省略號.其實很多數(shù)列問題的復(fù)雜性就集中體現(xiàn)在省略號上.省略號代表的是無限、未知和抽象.即使首尾相加，在清點數(shù)對項數(shù)時往往還需在省略號中操作.我們更愿意相信高斯所采用的算法是后者！當(dāng)我們還糾結(jié)于在省略號中劃分?jǐn)?shù)對時，高斯已借助倒序相加，目光輕輕掠過省略號，投向更遠(yuǎn)處.倒序相加的本質(zhì)，即在于淡化省略號的負(fù)面影響.

能解決問題的是人才，能提出問題的是天才，發(fā)現(xiàn)問題并能解決問題的是大師.追隨他們的腳步，哪怕是一步、兩步，對于提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣都有著積極的意義.數(shù)學(xué)幾千年的發(fā)展史注定了它不只是一門自然科學(xué)，也是一門人文科學(xué).

（3）聯(lián)想類比，觸類旁通.例如等比求和公式Sn=a1（1-qn）1-q，它所采用的推導(dǎo)方法是錯位相減法.有趣的是，它的方法原理與化學(xué)中的“萃取法”過程驚人地相似：若兩種液體混雜（相當(dāng)于等差數(shù)列an乘以等比數(shù)列bn），我們可滴入萃取液（即乘以等比數(shù)列的公比q），然后搖一搖使其充分混合（錯位，相減），接下去靜置分層（利用等比求和公式），最后問題得到解決（消去省略號，化無限為有限）.經(jīng)典的方法都并不復(fù)雜，曹沖稱象，司馬光砸缸，不用千斤頂，四兩照樣撥千斤！

以上我們簡單地回顧了課本的四個公式的推導(dǎo)方法.重溫經(jīng)典方能有所超越.從方法上起步，會成為一個優(yōu)秀的學(xué)生.理解本質(zhì)，也許就能觸碰到大師的脈搏.

二、注重歸納，化圓為方

（1）從結(jié)論入手加以歸納.讓我們來看一例題：已知{an}，{bn}為等差數(shù)列，Sn，Tn是前n項的和.若SnTn=2n+13n+2，①求a5b5；②求a5b6.此題①②兩問條件相同，方法卻有所不同.在這里Sn是題眼所在，公式選擇上的差異，會導(dǎo)致解題方法的區(qū)別.對此，我們可以通過對幾種求和公式的比較來試著找到問題的關(guān)鍵.等差數(shù)列的求和公式一般可以認(rèn)為有三個：①Sn=a1+n（n-1）2d，②Sn=n（a1+an）2，Sn=An2 +Bn.由于公式①中帶有基本量a1，d更適用于聯(lián)立方程求解時采用，前提是必須條件充足，所以姑且稱其為計算公式；公式②中的a1+an往往可以根據(jù)等差性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化.由于轉(zhuǎn)化的特例是變成相同兩項，就本質(zhì)而言就是消元（這往往在條件不足時會起到“柳暗花明又一村”的效果），我們稱之為技巧公式；公式③Sn=An2 +Bn是由公式①a1+n（n-1）2d整合而得到，由于突出了變量n，強化了函數(shù)特質(zhì)，故稱之為函數(shù)公式.從基本量分析，本題涉及兩個等差數(shù)列{an}，{bn}，將帶有四個參數(shù)，運用公式①顯然不太適合.若選用公式②只需令n=9即可.而在第二問求a5b6中，由于底標(biāo)不同，仍舊選用公式Sn=n（a1+an）2，則會出現(xiàn)n1 =9，n2 =11，顯然又不合適.于是，我們可以試試公式③Sn=An2 +Bn，Tn=Cn2 +Dn， SnTn=An2+BnCn2+Dn=2n+13n+2，易知Sn=kn（2n+1），Tn=kn（3n+2），通過a5 =S5 -S4，b6 =T6 -T5即可.在相同的條件下，不同的解法有時只是源于公式的選擇不同.把握同一背景下的公式之間的細(xì)微差別，才能把握同一條件下的不同問題解法上的差別.

（2）從條件入手加以歸納.由于等差求和的函數(shù)公式Sn=An2 +Bn是一元二次函數(shù)的形式，順理成章地經(jīng)常會考查最值問題.這類問題又該如何讓學(xué)生牢牢地把握解題的方向呢？一元二次函數(shù)最值的關(guān)鍵在于對稱軸，而函數(shù)公式又是由Sn=a1+n（n-1）2d整合而來.那么，若條件可轉(zhuǎn)化為兩個等式的問題，往往可以從解基本量入手，從而直接求得對稱軸.若只有一個等式，則考慮能否通過觀察得到對稱軸.如已知S4 =S9，那么對稱軸在6.5處，易知最值在6或7處.上述是含有等量條件的問題，若沒有等式，則可以考慮通過相鄰兩項的符號變化來判定最值情況.綜上所述，我們可以通過條件形式——兩個等式、一個等式、沒有等式（即有不等式）來把握Sn=An2 +Bn的最值問題的解法.在這里，同一問題的不同解法是基于條件上的差別.把握同一問題的不同解讀，才能窮舉可能的條件形式對癥下藥.

歸納是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必備的能力和學(xué)習(xí)習(xí)慣.歸納的質(zhì)量直接影響著對同題異構(gòu)、異題同構(gòu)等諸如此類的問題或合并處理或區(qū)別對待的能力.通過歸納，我們可以將靈活多變的數(shù)列問題關(guān)進籠子里，化圓為方.這樣，復(fù)雜問題相對而言會得到簡化.

從上例可見相同的方法技巧下，高人一等的眼光，是簡化問題、厘清思路的關(guān)鍵.

分析越接近本質(zhì)，方向才越加明確；善于理清規(guī)律，方法才能得到優(yōu)化；強干弱枝，培養(yǎng)眼光，思路才會清晰.數(shù)列內(nèi)容的學(xué)習(xí)，對師生而言，不僅是一種挑戰(zhàn)，更是一個提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、養(yǎng)成良好分析習(xí)慣、開拓眼界的機會.以上即為筆者在“數(shù)列”教學(xué)過程中的一些感悟，不足之處敬請指正.