一道月考題的解法與探究

題目展示

過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F作不垂直于x軸的直線，交拋物線于M，N兩點，線段MN的中垂線交x軸于R，則=

解法1：設直線MN的方程為y=k（x-）（k≠0）

代入y2=2px（p>0），

消去x得kx-（2k+2p）x+=0

設M（x1，x2），N（x2，y2），則x1+x2= x·x=

由拋物線的定義知MN=x+x+p=+p=，又線段MN中點Q（，）

∴線段MN的垂直平分線的方程為y-=-（x-）

令y=0，解得x=，即R（，0），

∴FR=

所以=

解法2：設直線MN的方程為x=ky+（k≠0）

由x=ky+y=2px得y2-2pky-p2=0

設M（x1，x2），N（x2，y2），則y1·y2=-p2，y1+y2=2pk

所以MN=2p（1+k）

∴線段MN中點Q（pk2+，pk）

∴線段MN的垂直平分線的方程為y-pk=-k（x-pk2-）

令y=0，解得，即R（pk2+，0），

∴FR=p（k2+1）

所以=

解法3：（利用直線的參數方程）設直線MN的傾斜角為α（α≠0且α≠），

則直線的參數方程為x=+tcosαy=tsinα（t為參數）

代入得y2=2px（p>0）得t2sin2α-2ptcosα-p2=0，t1+t2=，t1·t2=-

MN=t-t= FQ==

FR==

所以=

解法4：（利用平面幾何知識）

設直線MN的傾斜角為α（α≠0且α≠），過M，N分別向準線作垂線，垂足分別為A，B，過N向線段AM作垂線，垂足為C

設MF=m，NF=n，則MN=m+n，MA=m，NB=n，MC=m-n

在Rt△MNC中，cosα==，FQ=-n=

在Rt△FQR中，cosα=所以FR==

所以==

我們可以得到以下結論：

結論1：過橢圓+=1（a>b>0）右焦點F作一條不垂直于坐標軸的直線，與橢圓交于M，N兩點，線段MN的中垂線交x軸于R，則=（e為橢圓離心率）

結論2：過雙曲線-=1（a>0 b>0）右焦點F作一條不垂直于坐標軸的直線，與雙曲線交于M，N兩點，線段MN的中垂線交x軸于R，則=（e為雙曲線離心率）

結論3：過圓錐曲線焦點焦點F作一條不垂直于坐標軸的直線，與曲線交于M，N兩點，線段MN的中垂線交對稱軸于R，則=（e為曲線離心率）

（作者單位：黑龍江省大慶實驗中學）