從高考試題看線性規(guī)劃的學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)

線性規(guī)劃是運籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個重要分支，它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法。在經(jīng)濟(jì)管理、交通運輸、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等經(jīng)濟(jì)活動中，提高經(jīng)濟(jì)效益是人們不可缺少的要求，而提高經(jīng)濟(jì)效益一般通過兩種途徑：一是技術(shù)方面的改進(jìn)，例如改善生產(chǎn)工藝，使用新設(shè)備和新型原材料。二是生產(chǎn)組織與計劃的改進(jìn)，即合理安排人力、物力資源，線性規(guī)劃所研究的是：在一定條件下，合理安排人力、物力等資源，使經(jīng)濟(jì)效益達(dá)到最大。一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。決策變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)是線性規(guī)劃的三要素。

高中階段線性規(guī)劃內(nèi)容是新課標(biāo)實施后新增加的內(nèi)容，近年來成為高考中的熱點問題，其試題已從簡單的求線性目標(biāo)函數(shù)的最值、平面區(qū)域的面積，轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠓蔷€性目標(biāo)函數(shù)的最值、參數(shù)的范圍，現(xiàn)在更是出現(xiàn)了與向量、概率、不等式、函數(shù)相結(jié)合的新題型。下面通過高考試題分析解讀體會如何學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)該部分知識。

一 考題回顧

高考試題對線性規(guī)劃內(nèi)容的考查主要體現(xiàn)在以下三個方面：

第一，注重對基本題型的考查。（1）已知線性約束條件，求目標(biāo)函數(shù)的最值問題。如2012年，山東理第5題。（2）線性規(guī)劃應(yīng)用題。如2012年，四川理第9題。

第二，體現(xiàn)對線性規(guī)劃與其他知識相結(jié)合問題的考查。（1）含有參數(shù)的線性規(guī)劃問題。如2012年，福建理第9題。（2）與向量、不等式、概率等知識相結(jié)合的線性規(guī)劃問題。如2011年，湖北理第8題；2009年，山東理第12題；2012年，北京理第2題。

第三，凸顯對線性規(guī)劃體現(xiàn)的“數(shù)學(xué)規(guī)劃”思想方法的考查。典型試題：（2012年，江蘇14）已知正數(shù)a，b，c滿

足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則 的取值范圍是

。

二 分析解讀

1.關(guān)于線性規(guī)劃基本題型

已知線性約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值問題，線性規(guī)劃應(yīng)用題，屬于線性規(guī)劃的最基本問題，是線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，要求學(xué)生能夠熟練掌握可行域的畫法，并能根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的變化情況，在可行域內(nèi)找到相應(yīng)的最優(yōu)解及最值。對于應(yīng)用性問題還要求學(xué)生能夠根據(jù)題意，通過設(shè)置恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的問題求解。旨在考查學(xué)生對線性規(guī)劃基本知識、基本問題的掌握，屬于容易題。

2.關(guān)于對線性規(guī)劃與其他知識相結(jié)合的題型

它體現(xiàn)了線性規(guī)劃的靈活應(yīng)用，突出了對學(xué)生能力的考查，有一定的綜合性，其本質(zhì)還是線性規(guī)劃問題，解決方法仍然同基本問題的方法類似。含參數(shù)的線性規(guī)劃可在作可行域時先將約束條件中的不含參數(shù)的不等式所表示的平面區(qū)域作出，然后再考慮含參數(shù)的不等式，可以利用嘗試的方法去研究。與向量、不等式、概率等知識相結(jié)合的問題，從題目中容易看出其中包含的線性規(guī)劃的“輪廓”還是比較清晰的，結(jié)合相關(guān)知識的內(nèi)容轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃的基本題型不困難。

3.關(guān)于用“數(shù)學(xué)規(guī)劃”思想求解問題的題型

這類問題從形式上可能看不出線性規(guī)劃的“影子”，其約束條件隱蔽，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變形，變形后約束條件可能不是線性的，其目標(biāo)函數(shù)也未必是線性的，我們可以稱之為“異化”的線性規(guī)劃問題。此類問題有一個共同特征：具備某些不等（或相等）關(guān)系的限制條件，求某個變量的范圍或最值。從下面的解答過程可見一斑。

解析：條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可化為：

設(shè) ， ，則題目轉(zhuǎn)化為：已知x，y滿足：

，求 的取值范圍。

作出（x，y）所在平面區(qū)域（如右圖）。求出y≥ex的切線的斜率e，設(shè)過切點P（x0，y0）的切線為y=ex+m（m≥

0），則 ，要

使它最小，須m=0。

∴ 的最小值在P（x0，y0）處，為e。此時，點P（x0，

y0）在y=ex上A，B之間。

當(dāng)（x，y）對應(yīng)點C時，

。

∴ 的最大值在C處，為7。

∴ 的取值范圍為[e，7]，即 的取值范圍是[e，7]。

三 學(xué)習(xí)啟示

高考對線性規(guī)劃的要求越來越靈活，以考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值為重點，兼顧考查代數(shù)式的幾何意義（如斜率、距

離、面積等）。多以選擇題、填空題出現(xiàn)，含參數(shù)的線性規(guī)劃問題也是高考的熱點。在知識交匯處命制試題更是高考試題的一個重要特點，鑒于此，在學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)中要緊緊抓住以下環(huán)節(jié)：

1.牢固掌握可行域的畫法

若要正確畫出可行域，首先是正確畫出每個二元一次不等式所表示的平面區(qū)域，這有兩種常用的方法：一是先畫出相應(yīng)二元一次方程所表示的直線，再選取一個特殊點（如果直線不過原點則常選取原點）代入二元一次方程，計算其值的正負(fù)再結(jié)合二元一次不等式的要求，若符合，則該點所在的區(qū)域就是所求的一元二次不等式所表示的平面區(qū)域，否則該點所不在的區(qū)域為所求的區(qū)域，我們可以用一個成語形象地總結(jié)：窺一斑而知全豹。二是將一元二次不等式化為y>kx+b（或y>kx+b）的形式，若是y>kx+b形式，則所表示的平面區(qū)域一定在直線y=kx+b的上方，反之在下方。其次是用陰影表示出幾個一元二次不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。若邊界不等式所對應(yīng)的方程是特殊形式，則容易畫出其所表示的區(qū)域，若二元一次不等式中含有等號則用實線表示，否則用虛線。

2.靈活求目標(biāo)函數(shù)最值

正確畫出可行域后，將目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（b≠0）化

為 形式，通過斜率為 的直線平移求出 的

最值，這個過程中需注意：一是所求可行域的邊界與直線

傾斜程度之間的關(guān)系；二是z的系數(shù) 的正負(fù)對

z取最值的影響，當(dāng) >0時， 取得最大（小）值時，對

應(yīng)的z也會取得最大（小）值，當(dāng) <0時，則恰好相反。

3.熟悉簡單數(shù)學(xué)建模問題

應(yīng)用數(shù)學(xué)解決各類實際問題時，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立教學(xué)模型的過程，是把錯綜復(fù)雜的實際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。要通過閱讀、分析、處理數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數(shù)量關(guān)系。數(shù)學(xué)建模需要較深厚扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，敏銳的洞察力和想象力。

4.深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)規(guī)劃思想

線性規(guī)劃蘊涵的優(yōu)化思想方法是數(shù)學(xué)中的基本思想方法，線性規(guī)劃研究的是線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)化問題，體會了這種思想后，就會明白“一個目標(biāo)函數(shù)，

其變量在某種約束條件下，就可以求該變量的最優(yōu)化問題”的數(shù)學(xué)規(guī)劃思想。也就是說，目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性函數(shù)的情形則屬于線性規(guī)劃問題，約束條件及目標(biāo)函數(shù)也可以是非線性的，我們可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃思想去解決。

〔責(zé)任編輯：王以富〕