用導函數計算等量同種電荷連線中垂線上場強的最值

在孤立系統中，等量同種電荷連線中垂線上的場強分布較復雜。從定性分析看，在中垂線上自無窮遠處至電荷連線的中點，電場強度是先變大后減小。應該存在場強最值，本文依據高中數學知識證之。

設兩電荷A、B均為正，電荷量為 ，距離為2l。在中垂線上任取一點P，P與電荷連線與l成角θ（θ∈[0°，90°]）。見圖1。

根據 ，推得 。

同理 。

因為兩場強關于中垂線對稱，所以合強場方向向上。

令 為常數C（C>0）。

換元sinθ=x（0≤x<1），即原函數為 。

三次函數y=x-x3，對該函數求導y′=1-3x2，圖像見圖2。

有最值。

∵sinθ=x（0≤x<1）。

∴當 即 時，E合可取得

最大值 。

當sinθ=0或 ，即θ=0°或

時，E合可取得最小值E合min=0。

筆者在習題課的教學中，采用了該方法證明等量同號電荷中垂線場強最值，使學生感受數學的魅力，體會到數學思想方法是解決物理問題的重要工具。

〔責任編輯：王以富〕