復數概念教學應關注的問題

新課程中復數教學突出復數的代數表示，同時也強調復數的幾何意義。本文就此淺談第一節“復數的引入及數系的擴充”的教學應關注哪些問題。

一 復數教學的定位與教育價值

復數是高中生必備也是高考必考的的基礎知識，文理科內容相同，要求一致。復數不像實數，具有實在感，復數是純理論的創造，無法直接感知。數的產生是生產實踐的需要，是用來記數或丈量的，但復數是為了解方程而產生的。

數系的擴充對學生來說并不陌生，學生已學習了負數、分數、無理數，復數的引入，實現了中學階段數系的最后一次擴充。當然，數系擴充必須滿足的原則是：“（1）從數系A擴充到數系B必須是A真包含于B，即A是B的真子集；（2）數系A中定義了的基本運算能擴展為數系B的運算，且這些運算對于B中A的元來說與原來A的元間的關系和運算相一致；（3）A中不是永遠可行的某種運算，在B中永遠可行；（4）B是滿足上述條件的唯一的最小的擴充。”

數學概念是數學這座大廈的基石，是數學體系的起點。因此，掌握復數的基本概念是學好復數的關鍵。復數的學習能強化學生分類討論、類比以及數形結合的思想，能激發學生勇于探索、創新的精神，讓學生感受數學發展過程的美。

二 處理教材應關注的幾個問題

第一，為什么引入復數；第二，怎么引入；第三，什么是復數；第四，復數怎么分類；第五，如何判斷兩個復數相等；第六，復數的幾何意義。建議對本節課的教時設定為一個課時，因內容較多，抽象不易理解，加之在關鍵地方規定較多，未講清為什么要規定，為什么這樣規定。因此處理以上六個問題，是幫助學生正確理解與掌握復數概念的關鍵，也是上好本節課的重要線索。

三 教學的關鍵

復數比之前學過的數更抽象，尤其是虛數單位“i”的引入，引發學生認知上的沖突、心理上的排斥。因此本節課的關鍵是幫助學生理解虛數單位“i”，并理解復數的代數形式。

四 對教學過程安排的建議

首先，從學生已有的學習經驗和知識背景出發，提問所學過的數的分類，以及常用數集的表示及其之間的關系。

緊接著，解五個方程：x+1=2；x+2=1；5x=3；x2=2；x2=a。

從前四個方程的求解中，學生間接回顧數系的擴充，了解數系擴充的歷史。第五個方程，高二學生須具備一定的分類討論思想，當a≥0時能解，a<0時就解不了。學生感知已有的數集不夠用，數系自然就要擴充了。

問題1：能不能創造一類數使它的平方是負數呢？

大量實例表明任何一個負數都可以表示成-1與一個正數的乘積。因此，要解決誰的平方是負數這一問題，只需要解決誰的平方等于-1即可。這就說明引入虛數單位“i”的必要性及合理性了。

問題2：引入“i”能將原有的數系擴充嗎？

從以往數系擴充的經驗出發，引導學生將虛數單位“i”與實數進行四則運算，通過實數與“i”的基本的乘法與加法運算自然就產生了復數。于是，學生對數的認識從實數域擴充到一個更大的領域——復數域。

解決完以上問題，趁熱打鐵，抽象概括復數的概念，構建復數的表示形式：Z=a+bi（a，b∈R）。

事實證明，學生對復數概念模糊，相當程度上是因為對復數代數形式的理解不到位。因此要強化實部與虛部的概念。學生常易在虛部的概念上出錯，要特別舉例說明。

既然實部、虛部共同決定復數，學生很自然地就可以想到根據實部、虛部的取值的不同，對復數分類。通過對復數分類，加深對復數代數形式的認識，與此同時還能使學生體會復數和實數的區別與聯系。

一個復數a+bi（a，b∈R）有實部有虛部，就可確定一組有序實數對（a，b），同時，一組有序實數對確定一個復數，因此它們是一一對應的。幫助學生理解好了這個對應關系，對于兩復數相等的問題以及復數的幾何意義問題，學生就能輕松理解。因此復數的代數形式是關鍵，后面三個問題都是復數代數形式的深化。

例題1：說出下列三個復數的實部、虛部，并指出它們是實數還是虛數，如果是虛數，請指出是否為純虛數：（1）

3+4i；（2） ；（3）-7。以此例理解鞏固復數的基本

概念及分類。

例題2：設x，y∈R，且（x+2）-2xi=-3y+（y-1）i，求x，y的值。以此例理解鞏固當且僅當實部與虛部都相等時，兩個復數相等。同時指出，虛數一般不比較大小。

復數與點的一一對應關系，引導學生聯想向量的知識，同時類比實數與數軸上點的一一對應關系，幫助學生理解復數與平面內點的一一對應關系，引出復數的幾何意義以及復數模的概念。通過例題3，在復平面內表示下列復數，并分

別求出它們的模：（1）-2+3i；（2） ；（3）3-4i；

（4）-1-3i。對學生進一步滲透數形結合思想。

隨后，根據學生在處理課本上的練習產生的問題，及時糾正并加強概念的理解。

最后，師生共同小結，一是以符號或圖形的形式表示擴充后的數集，二是總結復數的代數形式及相關概念。

整節課在學生解決一個又一個問題的過程中層層遞進，步步深化。順著六個問題組成的線索，復數的概念清晰可見，從而為學生學習復數的表示、復數的運算及后繼知識奠定了堅實的基礎。

〔責任編輯：李冰〕