由分形看世界的簡單性和復雜性

【摘 要】世界是復雜多樣的，過去人類習慣于服從用歐式幾何方式去看世界，存在許多的局限性。而從分形這一全新的角度去看世界的簡單性與復雜性，可得出世界是簡單性與復雜性的統(tǒng)一，復雜的世界是由一個個簡單的事物不斷重復構成的，揭示了簡單的過程可以構成復雜的結構。同時，由分形看世界的簡單性與復雜性所揭示的道理在人類社會的發(fā)展中得到了廣泛的應用，也產(chǎn)生了重要的意義。

【關鍵詞】分形 簡單性 復雜性

【中圖分類號】C05 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）15-0189-02

世界是豐富多彩、絢麗繽紛的，如千姿百態(tài)的云彩、彎彎曲曲的海岸線、綿延不絕的山脈、郁郁蔥蔥的森林、一瀉千里的江河等。人們可以從多種角度去看復雜的世界，本文將用分形的新視角來看世界的簡單性與復雜性，去發(fā)現(xiàn)復雜世界背后隱藏的奧秘，對世界進行一個新的理解。

一 對分形的理解

在運用分形的視角對世界的簡單性與復雜性進行分析前，我們首先要對分析工具——分形，進行定義和理解。

分形是從意思為“不規(guī)則的或者斷裂的”拉丁語派生出來的。分形的原意是不規(guī)則的、分數(shù)的、支離破碎的，它是一種具有自相似特性的圖形、現(xiàn)象或者物理過程等，來自于幾何學的研究。它與傳統(tǒng)的歐氏幾何有很大的差異和區(qū)別，歐氏幾何研究的對象是規(guī)則的、連續(xù)的、光滑的形體，而分形幾何研究的對象則是不規(guī)則的、不連續(xù)的、粗糙的形體。對于什么是分形，許多科學家都嘗試去理解和定義。

1.分形理論創(chuàng)始人Mandelbrot的定義

Mandelbrot在1982年曾試圖給分形下過一個數(shù)學定義，即如果一個集合在歐式空間中的豪斯多夫維數(shù)嚴格大于其拓撲維數(shù)，則該集合為方形集，簡稱為分形。一般說來，豪斯多夫維數(shù)不是整數(shù)，而是分數(shù)。1986年，他又提出了另一個比較實用的定義，即組成部分以某種方式與整體相似的形，稱為分形。

分形創(chuàng)始人Mandelbrot的兩個定義在一定程度上對分形進行了較好的描述和理解，也涉及了分形維數(shù)，但是也有一定的局限性，因為它把某些分形排除在外，難以概括分形的豐富性。

2.數(shù)學家Falconer的定義

Falconer參照生物學家的做法，通過列出分形的具體特性來給分形下定義。他從特性的角度將分形（分形集F）描述如下：（1）它具有精細的結構，即在任意小的尺度下，它可以有更小的細節(jié)；（2）它是如此的不規(guī)則，無論從局部還是從整體看，它都無法用微積分或傳統(tǒng)的幾何語言來描述；（3）它本身的結構通常在大小尺度上有著某種自相似的性質；（4）它的分形維數(shù)大于它的拓撲維數(shù)；（5）在許多情況下，它可以由迭代方法產(chǎn)生；（6）它通常具有“自然”的外貌。Falconer指出，如果集合F具有上述所有或大部分性質，它就是分形。

Falconer對分形的定義非常詳細和具體，讓人們能很直觀地了解分形所具有的性質和特點。但其對分形的定義缺乏抽象性和精煉性概括，沒能很好地對分形的本質進行闡述。

由此，可以看出要對分形下一個明確而嚴格的定義不是容易的事，但從中我們能獲取一些對分形的理解，分形具有自相似性，分形圖案是通過對其自身進行成比例縮小復制而構成的，局部與整體相似。分形幾何的理論為人類看世界提供了新的理論依據(jù)和新的方法視角。

二 由分形看世界的簡單性與復雜性的奧秘

為什么幾何學常常被說成是“冷酷無情”和“枯燥乏味”的？原因之一在于它無力描寫云彩、山嶺、海岸線或樹木的形狀。云彩不是球體，山嶺不是錐體，海岸線不是圓周，樹皮并不光滑，閃電更不是沿著直線傳播的。

面對復雜多樣的世界，從分形的角度來分析，能更好地揭示世界簡單性和復雜性的奧秘。下面將運用具體的例子進行分析。

1.自然界復雜性中的簡單性

自然界是奇妙無窮的，它蘊含著多樣性和復雜性。如森林、河流、云朵等。但就在這復雜性的背后卻隱藏著許多神秘的維度，許多分形現(xiàn)象。

首先，來看看自然界中普遍存在的樹。當人們在一棵大

樹下乘涼時，會覺得樹的生長是毫無規(guī)律的，因為它的枝干看起來是向各個方向生長，大小和長短不一，這容易讓人們覺得它的生長只取決于陽光、水分等條件。但如果用分形理論去分析其，人們會驚奇地發(fā)現(xiàn)，其實樹的每一節(jié)枝干，看起來都與整棵樹驚人地相似。沿著樹根向上看，看到母支，接著再到更小的分支。如果注意這些分支或節(jié)點，然后再觀察更高的分支或節(jié)點，會發(fā)現(xiàn)分支的模式是相似的，并且這種分支的模式是貫穿整棵樹的。這是樹的分形現(xiàn)象，看似復雜的樹實際上是由簡單的模式不斷重復而形成的。

除了樹之外，云朵也是一種分形現(xiàn)象。看似變幻莫測的云朵，也存在著自相似性。云朵邊界形狀的形成，常常被認為是隨機的，沒有規(guī)律可循的。但從分形的角度去分析，會發(fā)現(xiàn)其自相似性。如果在一個規(guī)模上去觀察云朵，然后選擇一小塊放大，它看起來與之前選定的規(guī)模是相似的。對整片云彩不斷進行縮放觀察，可以發(fā)現(xiàn)，選擇的小部分就像之前更大的部分，它們具有不斷重復模式的相似性，復雜結構的背后是由許多簡單的結構重復組合而成的。這讓我們再次感受到了分形的魅力——復雜中蘊含著簡單性。

其實自然界中存在著許多這樣的分形結構，自相似性也普遍存在，并且多具有隨機自相似的性質。如海岸線的輪廓、地球的形貌、河流水系的分布、星系與星團的分布、月球的表面、動物的花紋、植物的葉脈、巖石的裂縫、下雨天的閃電等。當我們放大和縮小，物體看起來都是非常相似的。

但要注意，自然界中存在的分形現(xiàn)象多是近似自相似或統(tǒng)計自相似，它們的自相似性存在于一定的尺度范圍內，當對其進行縮小或放大到一定倍數(shù)時，其自相似性就不復存在了。

2.人類社會復雜性中的簡單性

簡單性構成了自然界中的復雜性。從分形的角度去分析，復雜的人類社會中也蘊含著簡單性，是由許多的簡單性構成。

例如，股民們關心的股票價格曲線。在很多人看來，它是非常復雜、變化莫測的。但如果將許多天的股票價格交易曲線進行觀察和分析，人們會發(fā)現(xiàn)，這些難以預測的股票價格曲線，從長期來說是有一定規(guī)律的、具有自相似性的，符合分形的規(guī)律。再如，人類自身的身體構造也是巨大的分形結構。人每分鐘的心跳頻率曲線、小腸血管的分布狀況等都是具有自相似性的。貌似復雜的、雜亂無章的曲線或血管分布，其實都是由許多簡單的具有自相似性的結構所構成。另外，可以把社會中的家庭看做是復雜社會中簡單的單位。復雜的社會就是由一個個簡單的單位構成，社會中的每個家庭雖然不完全相同，但都具有一定的自相似性，它們成為社會整體的再現(xiàn)和縮影。社會分形表征了社會生活和社會現(xiàn)象中一些不規(guī)則的非線性特征，有著廣泛的應用價值。

在生活中，因為簡單性構成了復雜性，使越簡單的反而是越接近最本質的、最真實的。例如，在理工科領域，我們常常可以發(fā)現(xiàn)，公式越簡單的、才是越正確的、越接近真理的；越復雜的，往往不是最后的和最終的結果。

從分形這一觀點來重新審視人類社會，我們可以發(fā)現(xiàn)許多人類社會的事物都具有分形結構。復雜的人類社會也是由簡單性構成的，復雜性中蘊含著簡單性。

3.小結

從以上多個例子的分析，我們可以得出結論：世界上存在著許多的分形現(xiàn)象，無論是自然界還是人類社會，許多看似復雜的事物背后隱藏著簡單性。因此，從分形的角度說，世界是簡單性與復雜性的統(tǒng)一，許多的簡單性構成了復雜的世界。延伸開來，簡單的過程可以構成復雜的結果。這拓寬了人類的視野，改變了人類理解世界的方式，對于人類重新審視世界有著非常重要的意義。

三 由分形看世界的意義及應用

1.由分形看世界的意義

歐式幾何的研究對象都是規(guī)則的形體，而人類賴以生存的世界卻是不規(guī)則的。分形抓住了世界現(xiàn)象的本質，從而研究世界上不規(guī)則現(xiàn)象存在的規(guī)律性。從分形的角度去看世界，我們發(fā)現(xiàn)了世界具有的另一種奧秘，世界的復雜性是由簡單性構成的。這對人類的認識發(fā)展有重要意義，同時分形幾何理論對許多學科中的復雜問題研究也起到了重要的推動作用。也正因為如此，分形已經(jīng)廣泛地應用到了人類社會的各個領域。

2.由分形看世界的應用

運用分形理論，人類可以測量出一片森林二氧化碳的吸收量，幫助人類進行環(huán)境保護，沒有分形，則無法測量。再如，利用分形理論可能有助于癌癥的早期診斷。在醫(yī)療成像領域，血液首先通過正常的血管，然后通過有腫瘤的血管，因為兩種血管網(wǎng)絡有不同的分形維數(shù)，不是整齊分岔，所以可以判斷出該部位是否處于癌變狀態(tài)。還有，由于斷層與裂縫系統(tǒng)具有分形分布結構，因此人類利用地下深部巖石裂縫發(fā)育帶與地表的自相似性，能較好地對碳酸鹽地區(qū)的油氣資源進行勘探，克服地質資源勘探難的問題。

分形科學不僅廣泛地應用在自然科學領域，其在社會科學中也有廣泛應用。

分形理論已成為經(jīng)濟學家解釋復雜經(jīng)濟現(xiàn)象的重要工具。例如，價格變化的分維測算、國民收入的分形與分維、經(jīng)濟混沌及奇異吸引子的分維測度等新成果的研究為經(jīng)濟學的發(fā)展注入了新的活力。同時，可以用分形方法在計算機上實現(xiàn)模擬自然景物、動畫制作、建筑物配景等。如電影《星球大戰(zhàn)3：武士復仇》就是利用分形來生成星球表面的地勢和死亡之星的輪廓等魔幻特效。另外分形天線、分形服裝、分形首飾、分形建筑等都是在不同尺度層次上的自相似結構應用。

綜上分析，我們可以看出分形的重要意義和應用，讓我們對分形理論有美好的展望，同時也相信分形理論今后的發(fā)展能夠更好地促進人類的進步！

參考文獻

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〔責任編輯：肖薇〕