淺談二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用

【摘 要】二次函數(shù)的概念問題是最基礎(chǔ)的問題。二次函數(shù)解析式的應(yīng)用、二次函數(shù)的單調(diào)性、圖像、最值是二次函數(shù)應(yīng)用的基本問題。

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù) 應(yīng)用

【中圖分類號】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）12-0138-02

在初中教材中，對二次函數(shù)作了較詳細(xì)的研究。進(jìn)入高中，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對其基本概念和基本性質(zhì)（圖像以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，還需對二次函數(shù)再深入學(xué)習(xí)。

一 函數(shù)概念的理解

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，是從變化的過程中的兩個(gè)相關(guān)聯(lián)量進(jìn)行描述的。進(jìn)入高中后學(xué)習(xí)集合和映射，主要是用集合觀點(diǎn)來闡明函數(shù)，就是兩個(gè)非空集合，集合A里面的元素都能在集合B中找到唯一的值與之對應(yīng)，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素x對應(yīng)，記為f（x）=ax2+bx+c（a≠0）。

例1，已知f（x）=x2-x-6，求f（a），f（x-1）。

分析：f（a）是當(dāng)x=a時(shí)的函數(shù)值，f（x-1）是當(dāng)自變量為x-1時(shí)，根據(jù)對應(yīng)法則所產(chǎn)生的值。

例2，設(shè)f（x-1）=x2-3x+2，求f（x）。

分析：這是要求對應(yīng)法則，定義域中的元素x-1的象是x2-3x+2，求定義域中元素x的象。

解決這樣的問題，我們一般用兩種方法：（1）將其化解成x-1的多項(xiàng)式。f（x-1）=x2-3x+2=（x-1）2-（x-1），然后用x代x-1得到f（x）=x2-x。（2）使用變量代換法：它的適應(yīng)性強(qiáng)，對一般函數(shù)都可適用。令t=x-1，則x=t+1，∴f（t）=（t-1）2-（t-1）=t2-3t+2，所以得到f（x）=x2-3x+2。

二 二次函數(shù)的基本性質(zhì)（圖像、單調(diào)性、最值）

圖像的表示法分為解析法、列表法、圖像法。在這里我就不做闡述。

一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮：如果對于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1f（x2），那么就說f（x）在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)；如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)，說明為單調(diào)增，如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間是減函數(shù)，說明為單調(diào)減。

例3，求函數(shù)y=3x-1在R上的單調(diào)性。

證明：設(shè)x1，x2是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1

f（x1）-f（x2）=3x1-1-3x2+1=3（x1-x2）。

由x1

所以f（x1）

例4，求f（x）=x2-6x+4在區(qū)間[t，t+2]上的最小值。

分析：函數(shù)給定了，函數(shù)圖像也定了，要討論它的最小值，不能簡單用端點(diǎn)的值來計(jì)算，要結(jié)合圖像來討論t的取值范圍。

解：f（x）=x2-6x+4，對稱軸為x=3。

當(dāng)區(qū)間在對稱軸左側(cè)時(shí)，函數(shù)的最小值為f（t+2）。f（t+2）=t2-2t+4。

當(dāng)區(qū)間在對稱軸右側(cè)時(shí)，函數(shù)的最小值為f（t）。f（t）=t2-6t+4。

當(dāng)對稱軸在區(qū)間內(nèi)時(shí)，函數(shù)的最小值為f（3）。f（3）=-5。

f（t）=t2-2t+4 （t<1）

f（t）=t2-6t+4 （3

f（t）=-5 （1≤t≤3）

通過這道題，我們可以得出結(jié)論，一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)，它有可能出現(xiàn)最大值，也有可能是最小值，但如果定義域發(fā)生了變化，那么最大值和最小值也會(huì)出現(xiàn)變化。

三 巧學(xué)三個(gè)“二次”，凸顯“統(tǒng)帥地位”

一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式，簡稱三個(gè)“二次”，有著緊密的聯(lián)系并相互制約、相互作用。在處理三者的問題時(shí)，應(yīng)注意突出二次函數(shù)在其中的統(tǒng)帥地位。教材中一元二次不等式的求解，既體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，又展示了三個(gè)“二次”的美妙聯(lián)系，突出了二次函數(shù)的主角地位。建議在教學(xué)中應(yīng)充分展示三者聯(lián)系的過程教學(xué)，切忌將揭示三者聯(lián)系的過程一筆帶過，而對一元二次不等式的解集結(jié)果，切忌要求學(xué)生死記硬背，盲目套用，淡化其中蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想。

曾做過這樣一個(gè)練習(xí)：（1）已知函數(shù)f（x）=lg（x2+2x+a），若其定義域?yàn)镽，求a的取值范圍；（2）已知函數(shù)f（x）=lg（x2+2x+a），若其值域?yàn)镽，求a的取值范圍。

問題（1）絕大部分學(xué)生都能唾手可得：若其定義域?yàn)镽，則不等式x2+2x+a>0的解集是R，從而△=4-4a<0，得a>1；但對問題（2），許多學(xué)生感到十分茫然，其中部分學(xué)生竟認(rèn)為與問題（1）一樣。此時(shí)，我先引導(dǎo)學(xué)生從范圍a>1中取特殊值驗(yàn)證。如：a=2，f（x）=lg（x2+2x+a）=lg[（x+1）2+1]≥lg1=0，值域不是R，因此，兩個(gè)問題是截然不同的。接著，引導(dǎo)學(xué)生考察對數(shù)函數(shù)f（x）=lgx，從圖像可知，其值域?yàn)镽，x必需取遍所有大于0的實(shí)數(shù)。若令t=x2+2x+a，則t必需取到大于0的所有實(shí)數(shù)。我問學(xué)生：二次函數(shù)的圖像應(yīng)如何？許多學(xué)生竟不知所云。究其癥結(jié)，根源在三個(gè)“二次”的教學(xué)中，未能凸現(xiàn)二次函數(shù)的統(tǒng)帥地位，特別是二次函數(shù)的圖像在解決相關(guān)問題時(shí)的獨(dú)特作用。另外，在解決二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布問題及二次不等式在閉區(qū)間上恒成立的問題時(shí)，一定要突出二次函數(shù)的統(tǒng)帥地位，把問題的解決轉(zhuǎn)化到二次函數(shù)圖像特征的識(shí)別上。切忌把注意力集中到對上述問題各種題型的結(jié)論歸納，而把美妙的數(shù)學(xué)思想淹沒其中。若如此，則十分可惜！

參考文獻(xiàn)

[1]徐斌艷.數(shù)學(xué)教育展望[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001

〔責(zé)任編輯：李冰〕