高考數學創新意識考查例析

高考數學對創新意識的考查是一種高層次理性思維的考查，它要求考生不僅能理解一些概念、定義，掌握一些定理、公式，更重要的是能夠應用這些知識和方法解決數學中和現實生活中比較新穎的問題。高考對創新意識的考查，其意義已超出了數學學習，對提高考生的學習能力、工作能力和數學素養都有重要的意義。

高考中常常通過創設一些比較新穎的問題情境，提出一些具有一定深度和廣度、能體現數學素養的問題，著重考查數學主體內容。這類問題一般都注重問題的多樣化，體現思維的發散性，反映數、形運動變化的特點。當然，問題給出的方式是材料的陳述，而不是客體的展示，也就是說，考查時所提出的問題，通常已進行過初步加工，并通過語言文字、符號或圖形展現在考生面前，要求考生讀懂、看懂。因此，這對學生閱讀、理解數學材料的能力有較高的要求。以下結合典型高考試題，對高考中創新意識的考查情況進行具體分析。

【例1】（高考湖北卷·理）

給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色.當n≤4時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示，

由此推斷，當n=6時，黑色正方形互不相鄰著色方案共有

種，至少有兩個黑色正方形相鄰著色方案共有 種.（結果用數值表示）

分析：本題設計新穎、圖文并茂，突出能力考查，要求考生“多想點、少算點”，考查考生對新問題的處理能力、閱讀理解能力、分析問題和解決問題的能力，同時考查考生的創新意識。解答本題時可將問題一般化，構建數列模型。給n個自上而下相連的正方形著色，其中黑色正方形互不相鄰的著色方案種數記為an，由圖可知，a1=2，a2=3，a3=5=2+3=a1+a2，a4=8=3+5=a2+a3，由此推斷a5=a3+a4=5+6=13，a6=a4+a5=8+13=21，故黑色正方形互不相鄰著色方案共有21種；由于給6個正方形著黑色或白色，每一個小正方形有2種方法，所以一共有2×2×2×2×2×2=26=64種方法，由于黑色正方形互不相鄰著色方案共有21種，所以至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有64-21=43種.

【例2】（高考全國卷·理）

設y=f（x）為區間[0，1]上的連續函數，且恒有0≤f（x）≤1，可以用隨機模擬方法近似計算積分■f（x）dx，先產生兩組（每組N個）區間[0，1]上的均勻隨機數x1，x2，…xN和y1，y2，…yN，由此得到N個點（xi，yi）（i=1，2，…N），再數出其中滿足yi≤f（xi）（i=1，2，…，N）的點數N1，那么由隨機模擬方案可得積分■f（x）dx的近似值為 。

分析：本題背景新穎，問題的給出是用隨機模擬方法求封閉圖形的面積S的近似值，考查考生對文字語言、符號語言、圖形語言的理解程度，考查隨機模擬方法、幾何概型、定積分的基本概念及幾何意義等知識的綜合應用，著重考查考生的創新意識。

由題意可知■≈■得■f（x）dx≈■，故積分■f（x）dx的近似值為■.

【例3】（高考北京卷·理）

若數列An=a1，a2，…，an（n≥2）滿足|ak+1-ak||（k=1，2…n-1），數列An為E數列，記S（An）=S（An）=a1+a2+…+an.

（Ⅰ）寫出一個滿足a1=as=0，且S（As）>0的E數列An；

（Ⅱ）若a1=12，n=2000，證明：E數列是遞增數列的充要條件是an=2011；

（Ⅲ）對任意給定的整數n（n≥2），是否存在首項為0的E數列An，使得S（An）=0？如果存在，寫出一個滿足條件的E數列An；如果不存在，說明理由。

分析：本題以數列知識為背景，是新定義數列概念的問題，試題設問與立意較新穎，是具有開放性結論的試題，背景清新，模型具體、簡明，方法熟悉、簡便，考查考生的創新意識。

第（Ⅰ）問易得符合條件的一個E數列A5：0，1，2，1，0.

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個符合條件的E數列A5）

第（Ⅱ）問，先證必要性：因為E數列A5是遞增數列，

所以ak+1-ak=1（k=1，2，…，1999）.

所以A5是首項為12，公差為1的等差數列.

所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.

再證充分性：

由于a2000-a1000≤1，

a2000-a1000≤1

……

a2-a1≤1

所以a2000-a≤19999，即a2000≤a1+1999.

又因為a1=12，a2000=2011，

所以a2000=a1+1999.

故an+1-an=1>0（k=1，2，…，1999），即An是遞增數列.

綜上，結論得證.

第（Ⅲ）問，令ck=ak+1-ak=1>0（k=1，2，…，n-1），則cA=±1.

因為a2=a1+c1+a1=a1+c1+c2

……

an=a1+c1+c2+…+cn+1， （下轉第192頁）

（上接第179頁）所以S（An）=na1+（n-1）c1+（n-2）c2+（n-3）c3+…+cn-1

=■-[（1-c1）（n-1）+（1-c2）（n-2）+…（1-cn-1）]

因為ck=±1，所以1-ck為偶數（k=1，…，n-1）.

所以（1-c1）（n-1）+（1-c2）（n-2）+…+（1-cn）為偶數，

所以要使S（An）=0，必須使■為偶數，

即4整除n（n-1），亦即n=4m或n=4m+1（m∈N*）.

當n=4m+1（m∈N*），E數列An的項滿足a4k+1=a4k-1=0，a4k-2=-1，

a4k=1（k=1，2，…，m）時，有a1=0，S（An）=0；

a4k=1（k=1，2，…，m），a4k+1=0時，有a1=0，S（An）=0；

當n=4m+1（m∈N*）時，E數列An的項滿足，a4k-1=a3k-3=0，a4k-2=-1，

當n=4m+2或n=4m+3（m∈N）時，n（m-1）不能被4整除，

此時不存在E數列An，使得a1=0，S（An）=0.