APOS理論下的數學概念教學

高中新課程標準明確指出，在高中數學概念的教學中，一定要注意通過揭示數學知識如何發生、如何發展的過程，引導學生理解數學知識的本質。事實上，會求、會解、會運算并不能說明真正理解數學知識的本質，更不能說明理解了概念，這就提示教師要重視數學概念的教學過程，而概念教學過程中一些環節的缺失影響了學生建構概念的豐富性和全面性。美國教育家杜賓斯基針對數學學科的學習提出了APOS學習理論，其概念建構層次性的觀點為數學概念教學應逐層漸進提供了理論基礎，并且具有現實的可操作性。

一 APOS理論概念建構層次性觀點的具體化呈現

第一，操作階段是真實接觸事物或直接感受實物，是學習者得出概念的直觀感受，是理解概念的基礎，也是體會概念與概念之間聯系的必要條件。操作階段是感性認識階段。

第二，過程階段是學生對操作活動過程的回味、思考和積累，即是學習者對操作活動階段進行反思抽象，認知升華到認識到事物的本質的過程。過程階段是感性認識逐漸上升到理性認識階段。

第三，對象階段是不斷反復壓縮、抽象，進行重新認知，形成一個新的對象，新的對象可以從大腦中直接抽取出來，達到可以直接應用的認知狀態。對象階段是在理性認識的基礎上，是達到全新認識的階段。

第四，圖式階段是重新認識和外界具體事物建立聯系的過程，是理論應用于實際的過程，最后形成綜合的心理圖式。

這些過程充分反映了數學概念的二重性的特點。在實際課堂教學的過程中，我們可以利用APOS理論指導數學概念的教學活動，即數學概念的學習要經歷“操作”、“過程”、“對象”和“圖式”四個階段，通過經歷完整的數學學習過程，揭示出數學概念發生發展的過程，體驗數學的聯系。通過學習者自主探究，充分反映了學習者學習數學概念過程的真實思維活動，增加學習者的主觀能動性，提高學習者的洞察能力，在發掘出學習者積極性的同時，更有利于幫助學習者理解數學概念的本質。

二 APOS理論的數學概念教學實施的合理建議

APOS理論強調數學概念的學習始于現實具體例子，強調要把數學概念寓于現實社會背景中，讓學生通過活動親身經歷、從中經歷完整的學習過程。但是每個學習者只能依據本身已擁有的知識和經驗才能主動地加以建構獲得知識，教師簡單地進行傳授是達不到預想的效果的。課堂教學過程中這就要求教師對學習活動環節給予特別的重視，盡可能開放課堂，讓學生親歷體驗。

因此，教師要有意識地創設合情合理的問題情境，幫助學習者完成建構知識。創設問題要注重考慮下列幾個方面：（1）創設的問題是否可以體現數學概念發展形成的過程，并且盡可能地使數學概念與社會生活實際相結合；（2）創設的問題是否適合學習者已有的知識接受水平，能幫助知識構建的順利開展；（3）創設的問題是否含有適當的趣味性，可以引起大多數學習者的構建興趣；（4）創設的問題數量是否適當，可以滿足學習者構建知識的體驗。

從這里我們可以看到，APOS理論指導數學教學可以讓學習者了解現實世界和日常生活中的數學概念，加強對生產和生活密切聯系的實際應用性問題的發現能力。在教學過程中重視數學問題的實際背景，只有數學教學與學習者的實際生活相互靠近相互交織在一起時，數學才可以是鮮活生動的，才可以讓學生直觀感受到數學是從現實生活中來的，不是空洞的虛無的。數學又必須回到現實生活中去，服務生活，滿足生活需要。總之生活處處是數學。從這里我們也可以感受到，APOS理論指導數學教學可以讓學生從創設的問題中提取出數學模型，對生活中的數學沒有距離感，提高對數學問題解決的積極性和探索的主動性，培養學習者運用數學知識解決實際問題的應用意識和實踐能力。但是，這并不意味著數學概念教學要過多注重操作階段，只停留在理解上，對其他三個階段不予重視。

APOS理論要經過“操作”、“過程”、“對象”和“圖式”四個階段，分層次逐步建構數學概念的教學過程。四個階段也可認為代表著數學概念在學習者認知中建立起來的四個必經之路，但是四個階段并不是絕對連續的過程，它們是一個相對連續但又有相互重疊反復的過程。學習者從操作到圖式建構一個數學概念的過程是艱難而又需要時間積累和自身沉淀的，尤其從過程到對象的抽象過程更是需要經過多次反復重疊的思維訓練，知識認識循序漸進，螺旋上升，直至學習者了解數學概念的本質。在對象的建立階段一定要強調數學符號的表示形式和相應含義，使學生在頭腦中建立起直觀的知識結構形象，方便隨時抽取應用。對象、圖式階段是數學概念在學習者頭腦中建立的重要體驗。這兩個階段在揭示概念之后，對象階段是由數學概念派生出探求、演算、求證等，圖式階段是整體脈絡方向。對象階段與圖式階段是往復序進、循環前進的過程。教學實施中在學生進行概念建立的同時，教師可引導學生嘗試數學概念的自我理解。從這里我們看出，對象階段和圖式階段可以并存在一個時期，螺旋往復交替。因此APOS理論的四個階段并非固定在同一節課出現，它完全取決于數學概念在學生頭腦中構成的時期，所以教師要注意引導，及時交流互動。

APOS理論的教學給數學概念教學注入了新鮮血液，更給教師開拓了新的授課天地。

參考文獻

[1]李莉.學生學習數學概念的層次分析[J].數學教育學報，2002（3）：12～15

[2]張偉平.基于APOS理論的數學概念教學探究[J].數學通訊，2006（15）

〔責任編輯：龐遠燕〕