中國古代圓周率的發展

摘 要：圓周率，是圓周與其直徑的比值。在古代，人們就對圓周的周長和直徑的比值產生了濃厚的興趣，本文按照時間的順序，依次闡述中國古代圓周率的幾次重大變革，介紹了劉歆、張衡、劉徽和祖沖之對于研究圓周率的方法，闡述了對世界圓周率的研究發展成果的貢獻。

關鍵詞：圓周率 中國古代 劉徽 祖沖之

圓周率，一般用來表示，它是圓的周長與它的直徑的比值（也是圓的面積與它的半徑的平方的比值），它的值，即這兩個長度之間的比值，不取決于圓周的大小，也就是說，不管一個圓的周長是大是小，的值都是恒定不變的.它約等于3.14159265，是一個無理數.在平時的計算中，我們通常用3.14來代表圓周率，它是計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵值.

1、中國古代對圓周率的研究

中國古代最早關于圓周率的記載的古書是《周髀算經》，里面有“徑一周三”的記載，人們計算圓周率的方法是測量，設想一個古代的輪子，讓輪子在路面上滾一整圈，測量一下滾動的距離和直徑，可以發現比值略大于3，這個過程不需要復雜的測量儀器，一根繩子就足夠了，用繩子量一下輪子的直徑（可以打個結做標記），然后再用繩子去量滾動的距離，可以得到一個粗略的結果：

1.1劉歆對圓周率的早期研究

劉歆（公元前50年～公元23年），字子駿，是西漢后期的著名學者.劉歆較早開始研究圓周率在公元1～5年，劉歆受王莽之命仿周禮制銅斛，其中就涉及到了圓周率.據《隋書律歷志》第十六卷記載，便有“律嘉墨斛，方尺而圓其外，兆旁九厘五毫，冪百六十二寸，深一尺，積一千六百二十寸，容十斗”的說法。

這個量器呈圓柱形，其橫截面是圓形，圓內的正方形邊長為一尺。根據圓的面積公式可算出其圓周率為：

1.2 張衡——第一個從理論上求得圓周率的人

張衡（78～139），字平子，漢族，南陽西鄂人。在數學方面，人們知道的主要在于他對圓周率的研究。張衡所獲圓周率的精密度不及前人，但是他求圓周率的思路，開辟了一個新方向。事實上，在張衡以前，無論是《周禮·遂人》中有關器具如何制作的規定還是劉歆對王莽嘉量的制作，都只靠實測而完成，亦即，全靠實測來修正古率，從來沒有人企圖從理論上求出圓周率的值。可以說，只有張衡才是第一個從理論上求出圓周率的人。后來的劉徽正是沿著他的道路而獲得成功的。

1.3 劉徽的割圓術

劉徽（約公元225年～295年），漢族，是三國時期魏國的著名數學家，中國古典數學理論的奠基者之一，自幼攻讀《九章算術》，發現其中有不少不盡人意之處，于是決心為《九章算術》作注.在注述中表現了很多創見，為中國數學的發展做出重要的貢獻，特別值得稱道的是他對圓周率的研究。他在《方田》章“圓田術”的注釋中指出“周三徑一”的謬誤，并批評說：“然世傳此法，莫肯精竅，學者踵古，習其謬失。”為了求出較為精確的圓周率，他發明了割圓術，其做法是：

首先給出半徑為一尺的圓內接正多邊形邊長的遞推公式：

（1）

以及面積公式： （2）

然后依次求得S6，S12，S24，S48，S96和S192，再利用不等式（劉徽不等式）

（3）

求得圓周率的近似值為

劉徽只算到了圓內接正九十六邊形的邊長，故而他求得的圓周率為：

劉徽的研究很大程度上借鑒了張衡的研究。牛頓曾經說過“我之所以取得偉大的成就是因為我站在巨人的肩膀上”，劉徽也是站在張衡的肩膀上才取得成功的，劉徽的割圓術打開了精確求圓周率的方便之門。

1.4 祖沖之——圓周率精密計算第一人

祖沖之，字文遠（公元429—500年）他是南北朝時期杰出的數學家和天文學家，祖沖之最主要的數學成就就是對圓周率的計算，他得到這樣的兩項成果：

（1）圓周率的小數近似值：

（2）圓周率的分數近似值：

為紀念他的數學貢獻，現在把稱為“祖率”。

2.中國古代圓周率對世界的影響

第一個向西方全面介紹中國古代數學文獻和數學成就的是19世紀英國來華傳教士，著名的漢學家懷利（1815—1887）；第一個對中國數學家關于圓周率研究成果做全面介紹的是日本數學史家三上義夫（1875—1950）。在1910年三上義夫就在數學史專業雜志上發表論文介紹中國數學家在圓周率方面的成就。1913年出版的英文雜志《中日數學發展史》中，三上義夫專章論述了中國數學家的有關結果。

20世紀80年代后，中國數學領域的西方研究者逐漸增加，中國的圓周率歷史得到許多西方數學史家的深入研究，祖沖之等人的成果將永載數學史冊，激勵國人為在21世紀把中國建設成數學大國而努力。

參考文獻：

[1]劉玉玲，圓周率的簡介張曉麗 《高等數學研究》2007.2

[2]唐建國，圓周率的點點滴滴 《大學數學》 2006.4