淺談離散數學中數理邏輯與集合論的數學本質

[摘 要]探討離散數學中數理邏輯和集合論的數學本質以及它們之間的內在聯系，結合筆者的教學體會，說明在離散數學的教學過程中把握其數學本質的重要性，在此基礎上結合其應用性，能有效提高離散數學的教學效果。

[關鍵詞]離散數學 數理邏輯 集合論 數學本質

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）14-0148-02

離散數學本質上是一門數學課程，是學生數學知識結構和數學素質的重要組成部分。數學這門學科體系雖然很龐大，但大致可分為連續型、離散型和隨機型這三大類。在大多數的理工科專業的課程設計中，數學類課程通常包括：高等數學、線性代數、離散數學、概率論與數理統計等。高等數學能提供處理連續型的數學問題需要的數學工具；線性代數與離散數學則提供處理離散型數學問題的數學工具；而概率與統計則提供處理隨機型數學問題的數學工具。

正如徐潔磐在文中指出的：作為計算機學科工具，離散建模是離散數學區別高等數學的根本之處，也是離散數學與計算機緊密關聯之處，也是使離散數學成為計算機專業核心課程的原因之一。從學生角度看，離散數學具有抽象、概念多、知識點零散等特點，在學習中容易遇到困難，極大地影響了他們學習的積極性。本文探討離散數學中的數學本質，目的是理順這些概念和知識點的關系，進而達到解決學生學習困難的目的。

離散數學的內容主要包括數理邏輯、集合論、代數結構和圖論四部分，其中集合論部分起著承前啟后的作用。數理邏輯和集合論這兩部分內容如果能處理得好，對整個課程的教學就會起到至關重要的作用。已有部分研究論文對數理邏輯和集合論的教學進行研討，本文就數理邏輯與集合論的教學內容進行深入分析，弄清它們的數學本質和相互聯系，理清教學思路。教學實踐表明，這些教學分析能使教師在講授過程中教學內容主線清晰、教學目標明確，進而有效提高教學質量和學生的數學素質。

一、數理邏輯部分的數學本質

其一，命題邏輯部分的數學本質是邏輯數學化。

在教學過程中，在引入命題邏輯的教學之前，可以讓學生比較“人”與“計算機”各自的長處。大部分學生都能得出這樣的結論：人長于“智能”而計算機長于“計算”。那么，要讓計算機增長“智能”，主要方向就是把“智能”計算化：把通過“智能”思考的問題轉化為通過計算進行判定的問題。而智能的基礎是邏輯推理，于是“智能”計算化首先就是要邏輯數學化。因此，數理邏輯是計算機的“人工智能”重要的基礎之一。

離散數學中命題邏輯這部分內容的數學本質是邏輯數學化，或者具體地說是邏輯代數化。代數方法的基本要素是對象和運算，代數化的基本過程模式是：符號化（對象）、運算、運算律、演算、標準型、應用。這種思想方法只要提醒學生回顧在中學學過的代數內容就能很快接受。再看命題邏輯這部分的教學內容，基本就是按照這樣的模式展開的：命題符號化（對象）、邏輯運算（聯結詞）、運算律（基本等值式）、等值演算、標準型（范式）、應用（解判定問題、證明等值式、實際應用、推理理論等）。因而，命題邏輯這部分內容的知識點并不零散，貫穿著代數化這條主線。

教學實踐表明，通過邏輯代數化這個主線串聯命題邏輯這部分主要內容，教學目標清晰，能得到很好的教學效果；同時學生還能從中學習領會代數化的思想方法，提高了他們的數學素質和應用數學解決實際問題的能力。

在命題邏輯的教學過程中，除了強調代數化的思想方法，還必須強調“標準型”（范式）是這部分的核心內容。一方面范式是等值演算的終極目標，另一方面范式是介于命題公式和真值表之間的橋梁，因此有著極高的理論與應用價值。

其二，謂詞邏輯部分的數學本質是引入變量與函數的思想。

從數學本質上看，謂詞邏輯就是把變量與函數的思想引入邏輯。在這樣的視覺下，那些基本概念就變得很清晰：個體變項是變量、謂詞是函數、個體域是定義域、屬性謂詞是一元函數、關系謂詞是多元函數...。然后再一次進行代數化過程：符號化（謂詞）、運算（聯結詞）、運算律（主要增加了量詞等值式）、等值演算、標準型（前束范式）、應用（判定問題、證明等值式、實際應用、謂詞邏輯推理理論等）。

當然，謂詞邏輯內容遠比命題邏輯深刻和復雜，在本科的離散數學中，這部分內容只能算是謂詞邏輯的基礎了。

二、集合論部分的數學本質

通常離散數學中集合論部分也包含兩章：集合論基本概念、二元關系與函數。由于中學階段已經有集合論的簡單內容，所以這部分內容學生并不會覺得陌生。

集合論是整個數學的基石，幾乎所有的數學概念都能用集合論語言表達，數學在集合論基礎上形成了一個獨立的科學體系。實際上從集合和二元關系這部分內容基本上也可以看出數學這個科學體系的構建過程。

首先集合論這章內容也是一個代數化的過程：對象（集合）、運算（集合運算）、運算律（集合恒等式）、演算、應用（計數、證明恒等式、實際應用等）。這里缺少了一塊標準型，實際上集合的演算也是可以有標準型的，只是這里的標準型沒有邏輯演算的范式那么重要而已。從內容與結構都可以看出，集合論與命題邏輯這兩部分內容有很大的相似性，這會在后文進行探討。

有了集合這個基本語言，就可定義二元關系。接著是關系的運算與運算性質（這部分又是代數化方法）。然后是三種特殊的關系：等價關系、偏序關系與函數。等價關系的意義在于“分類”，這既是數學的基本思想方法之一，也是數據挖掘的常見任務；而偏序關系的意義在于“排序”，這是計算機算法中最基本的研究對象。

有了函數的定義，分析學可以就此展開；而用函數定義二元運算后，于是代數學的基礎有了。有了分析學、代數學，數學這個科學體系的基本框架也就基本搭建好了。

集合論是數學之本。從集合到關系、再到函數與運算，構建了數學學科基礎。這就是集合論這部分的數學本質。弄清楚這些，教師就能做到胸中有“數”、總攬全局。而給學生介紹這些數學本質，學生也能初步了解這部分內容的結構、意義和價值，對這部分內容的學習和掌握是有很大幫助的。而且經過這兩個部分的學習，學生逐步熟悉和掌握代數的思想和方法，對后續抽象代數部分的學習在心理上和知識上都有了一定的準備。

三、數理邏輯與集合論基本內容的內在聯系

前文提到，命題邏輯和集合論這兩部分內容有很大的相似性。具體地說，這兩部分的運算與運算律具有很強的對應關系。比如，邏輯運算{？劭，∧，∨}與集合運算{～，∩，∪}之間的一一對應關系。大多數教師都能認識這點并在教學中加以利用。例如，在講授邏輯運算的運算律時提醒學生注意觀察邏輯運算的運算律與集合運算的運算律之間的對應關系，這有助于學生理解并掌握邏輯運算的運算律。有的離散數學的教材也把集合論這部分內容放在數理邏輯之前，這樣做雖然破壞了邏輯-集合-代數這樣的連貫性，但從學生有初步認知的集合論開始，然后再利用集合論與命題邏輯在內容上的相似性輔助邏輯部分的教學，也是有其可取之處的。

實際上，用命題邏輯的工具可以推導出集合運算及其一些運算律：給定集合A和B，假設全集是E。對于任意給定的元素x∈E，用p表示命題“x∈A”，q表示命題x∈B，則命題公式？劭p表示的命題是“x∈～A”、p∧q表示“x∈∩A”、p∨q表示“x∈A∪B”。這就是邏輯運算與集合運算的對應與轉換關系。進一步地，永真式（重言式）1表示x∈E、永假式（矛盾式）0表示“x∈Φ”，那么從命題邏輯的一些基本等值式就能直接推導出集合論中的一些基本恒等式（如結合律、交換律、分配律、德·摩根律等）。

當然，要更深入地探討集合論的恒等式和邏輯運算的等值式之間的關系，需要用到謂詞邏輯工具，不過這已超出了教學研究范疇，因此本文不在此進一步展開闡述，有興趣的讀者可自行探究。

四、結語

筆者認為，強調離散數學在計算機科學領域的應用是必要的，有助于提高學生的學習積極性和應用意識，但離散數學本身承載的數學本質也不應被忽視，畢竟它是一門重要的數學類課程。本文從數理邏輯與集合論模塊的教學談離散數學的一些數學本質，目的是在離散數學的教學過程中在把握其數學本質的基礎上充分結合其應用性，這樣既能有效提高教學效果，又能培養學生的代數思維習慣，提高他們的離散建模能力。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 徐潔磐.應用型計算機本科中離散數學課程目標定位與課程改革的探討[J].計算機教育，2010，（5）：6-9.

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[3] 趙佳，劉吉強.離散數學中的數理邏輯與集合論教學[J].計算機教育，2012，（3）：91-93.

[4] 謝印芬.離散數學中數理邏輯部分教學方法探討[J].計算機教育，2008，（22）：167-168.

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