“說題”例說

例（習）題教學在數學教學活動中占據重要地位，教師在進行例（習）題教學時，通過引領學生分析解題思路、反思解題過程、拓展習題的內容與形式等來加深學生對基本概念的理解，使學生對概念的理解完整化、具體化，進而形成完善、合理的數學認知結構。為了加強教師對例（習）題教學的研究，我們決定以賽促研、以賽促教，使說題研究成為教師的一種重要的集體教研方式。

一、為什么要做“說題”研究

我們在一線調研時發現，目前各校例（習）題教學中普遍存在以下問題：輕視教材例題，盲目選題；教法單一，缺乏創新；就題講題，外加“題海戰術”；欠缺做題后的深刻反思；不考慮學生實際，偏重解題技巧和解題模式的歸納。一位資深研究員曾感慨地說：“許多老師講完例1，便是‘下面開始講例2’，卻不知道為什么要講例1和例2。”話雖簡短，卻深刻揭示了我們教師在課堂例（習）題教學中存在的核心問題。

為了促進和優化教師對例（習）題教學的研究，說題教研迫切需要提上教研日程。我們設想，在沒有學生參與的情況下，引導教師向同行講述自己的教學設想、解題經驗和理論依據，強化教師對數學問題、教法學法的深入研究，營造更為務實的教研風氣，促使教師探求新型的教學方式，改變傳統的例（習）題教學模式。

二、“說題”的內容

“說題”，簡言之就是“說”數學題，即教師在例（習）題教學中能夠說清楚該題的出處和解題路徑，主要從題目的背景、解法及其對思維培養方面的作用等幾個方面去分析、說明。

課本中的例題多數具有很強的典型性、示范性，蘊含一種數學思想，示范一種解題方法，甚至包含豐富的數學背景知識。教師對教材例（習）題編寫意圖的理解，直接反映了教師對教材的理解。因此，如何充分挖掘這些例（習）題的潛在功能，調動學生學習數學的積極性，激活學生的學科思維，值得每一位數學老師深入思考和認真研究。

我們以教材中的一道例（習）題為題，要求教師主要從題目的背景、意思、解法、變化、教法與學法、反思等幾個環節去展開“說題”。從表面上看，教師“說”的是數學知識間的前后聯系、解決問題的方法和策略，但從本質上說，這些內容卻反映了教師自身的學科理論功底、對數學知識的掌握程度、對數學方法的理解能力以及數學教學的理念前瞻性。

三、怎樣“說題”

（一）“說”題目的背景

題目的背景，包括題目的題材背景、知識背景、方法背景、思想背景。對題目的背景進行分析，要求教師對題目在教材中的地位及作用有一個全面而深刻的理解。我們以南寧市外國語學校趙秀杰老師針對九年級下冊第9頁例3“畫出函數y=-（x+1）2-1的圖象，指出它的開口方向、對稱軸及頂點。怎樣移動拋物線y=-x2就可以得到拋物線y=-（x+1）2-1？”一題的說題為例，加以說明。下面是趙老師“說”背景：

1.題材背景。該題目出自人教版九年級下冊26.1.3二次函數y=a（x-h）2+k的圖象第3課時的例3。

2.知識背景。該題目涉及的知識點有：①描點法畫函數圖象的步驟；②二次函數y=ax2，y=ax2+k，y=a（x-h）2的圖象、性質以及圖象間的相互關系。

3.方法背景。根據學生已有知識與經驗間的內在聯系，讓學生大膽猜想后畫圖驗證，從函數對應值表、圖象、解析式中觀察拋物線的平移規律。

4.思想背景。數形結合思想、平移變換思想、化歸思想、坐標思想、從特殊到一般的思想等。

趙老師的以上分析，是比較到位、透徹的。“說”題目背景的目的，就是要教師們明確以下問題：教材設置該道例（習）題的目的和意義、該例（習）題與數學概念之間的關系、該例（習）題與其他例題之間的關系、該例（習）題與習題之間的關系等。這些處于不同地位的例（習）題，其在課堂教學中的作用是不盡相同的。對例（習）題進行深入研究，而不是就題論題，才能確保我們的教學不致偏離目標，出現小題大做或大題小做的情況。

（二）“說”學情

“教是為了不教”，“教是為了學”。“說”學情，就是要從學生的認知水平、認知起點、認知障礙以及教師的應對策略等方面，去逐一闡釋。我們還是以上面的例題為例，看看趙老師如何來“說”學情。

1.學生特點。本題的學習主體是畢業班學生，他們的觀察能力已有所發展，邏輯思維能力開始占據一定的優勢，并具備了從一定問題中抽象概括出一般規律的能力。

2.估計學生可能會出現的學習困難。當知識點一個一個呈現時，學生比較容易掌握。但將知識點綜合到一起，以題目的形式呈現，學生就不太容易理解，難以歸納、概括出一般規律了。

3.教學策略。學生已經掌握了利用描點法畫函數圖象的知識，能夠從圖象上認識函數的性質。本題的教學可以從分析教材的編寫意圖出發，引導學生體會數學知識之間的聯系，感受數學的整體性，豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力，而這也充分體現了課程標準的要求。

趙老師對學情的分析，反映出他的以下教育教學理念：充分地理解學生，思考幫助學生理解教材內容的策略，以使后續的教學過程能夠真正講到點子上，避開無關的問題，確保提高課堂教學的實效。

在這個環節中，教師要認真分析學生的認識能力和知識水平，預測學生可能會遭遇的思維障礙，并努力借助自身的教學經驗，去把握學生思維障礙形成的原因及解決的策略，不斷優化教學活動，做到精講精練、教學相長。了解學情有助于教師把握好教學的度，優化教學的方法，進而指導學生在探究學習的進程中，少一點害怕和逃避，多一點自信和勇氣。在這個環節，希望老師們不要一味地強調自己的學生在學習態度、學習基礎方面有著怎樣怎樣的問題；了解學生真實的學習狀況，思考幫助學生解決各種問題的有效策略，這才是教師的天職。

（三）“說”題目的意思

“說”題目的意思，就是運用數學語言說清題目所給出的信息：題目屬于哪一種類型，是否熟悉，已知條件（包括隱含條件）有哪些，待求結論是什么，等等。特別要說明題目中的已知條件，挖掘題目中的隱含條件，說明難點所在的位置、程度和成因。我們以南寧市明秀學校孫皝愻老師執教的七年級上冊第104頁探究3“電話計費問題”為例，加以說明。原題如下：

下表中有兩種移動電話計費方式。

考慮下列問題：

（1）設一個月內用移動電話主叫為t min（t是正整數）。根據上表，列表說明：當t在不同時間范圍內取值時，按方式一和方式二如何計費。

（2）觀察你的列表，你能從中發現如何根據主叫時間選擇省錢的計費方式嗎？通過計算驗證你的看法。

針對這道題目，孫老師如此去“說”題目的意思：

1.題目的條件

直接條件：以表格的形式呈現兩種計費方式的月使用費、主叫限定時間、主叫超時費的單價。注意“被叫免費”。

隱含條件：月使用費包含了主叫限定時間的通話費。

待解決的問題：①列表說明當t在不同時間范圍內取值時，兩種方式如何計費；②根據列表發現省錢的計費方式。

2.題目的重、難點

重點：根據題目條件獲取信息，建立電話計費的方程模型。

難點：①如何劃分主叫時間的范圍；②比較兩種方式的計費。

從例子中可以看出，在引導學生解題之前，孫老師對題目的條件進行了深入細致的分析，說清了此題的重點、難點。教師只有“心中有題”，才能在引導學生解題時做到有的放矢，使用適切的教學和解題策略，找準解決問題的切入點。教師的引導，對學生解題有著關鍵的作用。如果教師對題目的條件特別是對隱含條件分析得不夠充分，容易導致學生理解問題出現偏差，不能抓住要點。

（四）“說”題目的解法

“說”題目的解法，就是說題目的解題步驟和結論。我們要求教師在“說”題目的解法時，必須分析解題的基本思路和解題策略，總結出一般規律；對于一題多解的問題，還應說明解法的優化、變化和結論的一般推廣。我們以南寧市第十四中學張杏華老師執教九年級上冊第47頁探究3的說題為例。

該題原題如下：

如圖22.3.1，要設計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的長方形。如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度（結果保留小數點后一位）？

張老師這樣“說”題目的解法：

解法一：設正中央的長方形兩邊分別為9xcm，7xcm，可得方程

21（27-9x）+27（21-7x）-（27-9x）（21-7x）=×21×27.

解法二：設上下邊襯的寬為9xcm，左右邊襯寬為7xcm，可得方程

9x·21×2+7x·27×2-9x·7x·4=×21×27.

解法三：設正中央的長方形兩邊分別為9xcm，7xcm，可得方程

9x·7x=×21×27.

解法四：設上下邊襯的寬為9xcm，左右邊襯寬為7xcm，可得方程

（21-14x）（27-18x）=×21×27.

（注：張老師還具體分析了以上四種解法的思路及思路來源，對不同的方法進行了分類和規律總結，因篇幅所限，我們不再詳解。）

通過引導學生充分討論，激活并呈現學生的各種思維方式，得出多種不同的解題方法，進而激發學生的學習熱情，使學生體會到解題方法的多樣性。此題的解法多樣，而課本給出的恰恰是比較復雜的一種，且其設元用到的數量關系也不是例題直接給出的。為什么課本會選擇這樣的解題方法呢？這就需要我們在備課時認真地思考。我想，這里邊有兩個原因：一是引導學生學會挖掘題目中的隱含條件；二是此法的答案出現的是兩個正解，可以引起學生對解的取舍的關注。

張老師對題目的解法除了有一題多解的分析，還提出了一個值得我們思考的問題：“為什么課本會選擇比較復雜的解題方法呢？”這說明，張老師在對比該題的不同解法時，進一步理解了教材的編寫意圖。這是一個值得提倡的做法。以往老師們關注解題法中的一題多解，只是停留在技巧的運用層面，而往往忽視了不同方法的優選，特別是教材方法的選編意圖。

（五）“說”題目的變化

“說”題目的變化，就是從條件或者結論出發，或利用類比思想進行延伸，“說”解法的優化、變化和結論的一般變式、推廣、拓展等。我們還是用上面的設計書封的例題為例，看看張老師如何來“說”題目的變化。

變式一：數量關系改變

要為一幅長29cm，寬22cm的照片配一個鏡框，要求鏡框的四條邊寬度相等，且鏡框所占面積為照片面積的四分之一，鏡框邊的寬度應是多少厘米（結果保留小數點后一位）？（新人教版九上習題22.3綜合運用）

相同點：圖形相同，等量關系相同，解題方法相同。

不同點：原題已知大長方形的長與寬，此題知道的是小長方形的長與寬；此題的邊襯全部等寬。

變式二：圖形改變

如圖，要設計一幅寬20cm，長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3：2，如果要使彩條所占面積是圖案面積的四分之一，應如何設計彩條的寬度（結果保留小數點后一位）？（新人教版九上習題22.3拓廣探索）

相同點：數量條件相同，等量關系相同。

不同點：圖形不同。

兩個變式與原題相同，都是通過兩個矩形的面積關系列出方程。

設計意圖：①進一步熟練掌握用面積關系列一元二次方程解應用題；②加強學生對文字信息與圖形信息的理解與分析。

數學變式訓練是一種常見的教學設計方法，通常是在數學例（習）題教學過程中對概念、性質、定理、公式或問題等從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景作出一定的變化，使其條件或結論的形式或內容發生改變，而本質特征不變，意在揭示不同知識點之間的內在聯系。但需要提請教師注意的是，變式不是變相的“題海戰術”。對例（習）題進行適當的變式和拓展是例（習）題教學的必經過程，但過多偏離例題的目的和作用的變式訓練，必將滑向“應試”的泥潭。教師要認真研究教材中例（習）題設置的初衷。從上例中我們可以看出，張老師對變式問題的選擇是有明確目的的，兩個變式題都源于教材，她將題目中的數量、圖形進行適當變化，與原題保持緊密關聯，可見她對教材有著整體的把握，既使學生及時鞏固了剛剛習得的知識與方法，又使他們解決問題的能力得到了及時的延展訓練。

（六）“說”教法與學法

“說”教法與學法，即簡明扼要地說明如何進行題目的教學的方法。以南寧市第十四中學黃芳老師執教八年級上冊（舊版教材）第124頁“一次函數與一元一次方程”中的例1為例。原題如下：

一個物體現在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再過幾秒它的速度為17米/秒？

教師“說”教法與學法如下：

八年級的學生已經初步具備了探究問題的能力，但是對知識的主動遷移能力較弱，為使學生更好地構建新的認知結構，我將在教學中采用啟發式教學與小組討論、探究相結合的方法。

1.學生審題，獨立思考完成。

2.引導學生用函數觀點分析問題。

3.自主探究用函數的方法解決問題。

4.討論一次函數與一元一次方程的聯系。

因為該題的難度不大，黃老師基于學情，把學習的主動權交給了學生，引導學生從適合角度去分析問題、自主探究，然后展開討論。我們在平時的例（習）題教學中，常常看到單一的講授式，教師在出示例（習）題后便沿著自己的思路，一個條件一個條件地分析，直至講出解題的結果。這樣的講授式，看似流暢，但學生聽得乏味，往往是“會做的地方不想聽，想聽的地方沒聽到”。這就反映出，我們的老師對教法與學法的研究有待加強。

目前，我們一線教師的教學現狀不容樂觀：教法單一、照本宣科、講解刻板，缺乏變通與創新，教學效果不盡人意。例題簡單時，老師將解題過程直接板書出來，讓學生自己看解題過程，或者逐字逐句念給學生聽；例題有一定難度時，老師把自己的解題方法一股腦兒地“灌”給學生，學生缺乏思考，逐漸便養成了“你講我聽”的接受式學習方式，思維不能得到有效的訓練，遇到類似問題只能勉強應付，條件稍有變化便難以作出獨立的決斷。所以，教師在教學中一定要把握好教師主導與學生主體的關系，在引導方法上多下些功夫，真正做到“授人以漁”。

（七）“說”反思

反思的內容很多，比如：反思解題過程是否正確，反思有無其他解法，反思結論或性質在解題中的作用，反思解決問題的思維方法能否遷移，等等。還是以書封的設計一題為例，我們看看江南區江西中學的蘇江華老師是怎樣“說”反思的。

1.審題是基礎。教學中應讓學生結合圖形，理解題意；列方程解決實際問題，最重要的是能從實際問題中抽象出數量關系，構建數學模型。

2.找等量關系是關鍵，體驗方程思想。等量關系一般是題目中的某一句話或幾句話的綜合。

3.要根據具體問題，直接或間接地設未知數。未知數的假設直接影響到列方程與解方程的難易，要具體問題具體分析。此題涉及的數量關系很多，在此我們主要應討論利用面積間的數量關系列一元二次方程解題。其實在學生學習了相似的性質后，還可以利用相似比來列方程解題。

說題反思屬教學之前的“預設反思”，其特點是根據特定的理論假說和教學實踐經驗以及學生的實際狀況，為教學作出縝密的計劃與安排。當問題得到解決，卻不能就此止步：如何將抽象、枯燥的數學解題過程與思路通過老師的精心提煉，把精髓展示在學生面前；如何使學生通過對一個數學問題的解決，能夠擁有解決一類數學問題的能力；如何讓學生在解決數學問題的過程中體會數學的思想方法……這些都是教師在例（習）題教學中應當及時總結與歸納的內容。

我們數學老師都知道，數學學科其實并不枯燥乏味，數學中蘊含著簡潔之美、和諧之美、奇異之美，數學問題中包含著豐富的數學文化，如果我們在進行例（習）題教學時插入這些美學和文化的元素，必定有助于學生從枯燥的習題訓練中得到學習的樂趣。

對“說題”進行深入研究，把它上升到日常教研的層面，我們的工作才剛剛開始。盡管存在著諸多不足，但是我們有信心勇于進取，不斷探索，并通過以賽促練、以賽促研，引領我們的老師切實提高例（習）題教學的水平，為學生減負盡到自己的責任。