數學分析課程教學方法探討

摘要：“數學分析”這門課程是極其重要的專業必修課，是許多后續課程的基礎，但現階段存在課程內容多、學時少，大部分學生基礎差、學習興趣不高以及動力不足等矛盾。根據該課程的特點和目前教學過程中存在的問題，從重視緒論課的教學、基本概念的引入、轉變教學模式與教學手段以及做好課后輔導等方面對該課程的教學方法進行了探討。

關鍵詞：數學分析；教學方法；教學內容

作者簡介：孫志玲（1979-），女，內蒙古赤峰人，內蒙古民族大學數學學院，講師。（內蒙古 通遼 028000）

基金項目：本文系民族高校大學數學課程分級教學和考核的研究與實踐（項目編號：MDYB2013033）的研究成果。

中圖分類號：G642.4 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2013）32-0108-02

數學分析是數學系學生極其重要的專業基礎課，它集中反映了數學科學的學科特點，是學習實分析、復分析、泛函分析、微分方程、拓撲學等許多后續課程的基礎，在本科數學學習中占有特殊的地位。數學分析具有高度的抽象性和概括性、邏輯的嚴密性、結論的確定性以及應用的廣泛性等特點。數學分析不僅是進行數學理論研究的重要工具，更是培養學生數學思維和訓練基本素質的體操，是學生今后學習數學、攀登數學高峰的重要落腳點。對于剛入校的新生來說，學習數學分析課程都有“難”的感覺。這是由數學分析的學科特點所決定的。因為數學分析的思想方法、理論體系與平常人的日常習慣是大相徑庭的，大部分人一開始難以適應。在這個關鍵階段，需要教師在教學中的各個環節進行很好的引導，幫助他們找到合適的學習方法，只有這樣才能促使他們對大學學習的適應能力和思維能力的提高。因此，加強數學分析課程的教學是必需的。

一、數學分析內容的特點與教學現狀

數學分析與初等數學的主要不同之處是運用變化的觀點來考慮問題，用極限的語言來描述問題，極限的概念貫穿數學分析內容的始終，從變量的變化過程來尋找規律，是學習數學分析的關鍵環節。而對初等數學問題的研究是采用靜止的方法來討論的。數學這門學科從形成之日起，它的概念就以精確、抽象、嚴密的姿態出現的，而數學分析的這個特點更加突出，其概念的抽象性與嚴密性主要表現在定義的一系列新概念源于實際問題，使實際問題的高度抽象包含更豐富的內涵，更具有一般性。可以說，正確理解和熟練掌握數學分析的概念是學習這門課程的前提和基礎，它決定著這門課程學習的成敗。同時，在數學分析課程的學習中解題是關鍵，要學會解題就必須在全面、正確地理解基本概念、基本理論和基本方法的基礎上，培養數學的思想方法，運用豐富的技巧，提高分析問題和解決問題的能力。

隨著我國高等教育事業的快速發展，高等教育逐步從精英型向大眾普及型轉化，高等院校入學新生的數學總體水平普遍有較明顯的降低。并且隨著就業壓力的增大，學生進入大學校門，尤其是普通大學的學生，他們沒有明確目標，對學習不感興趣。另一方面，高等院校數學分析課時在數次壓縮后一般減少了五分之一左右，學時少、內容多也是教學中諸多矛盾之一。現階段從教學方法、教學內容、教學過程以及教學效果等幾個方面來看，數學分析課程的教學存在著許多與學生的實際水平以及社會發展需要不相適應的現象，教師應積極探索一些適合本學科需要的教學方法和學習方法。

二、數學分析教學法的探究

數學分析課程的特征大體可以概括為內容豐富、概念抽象嚴密、知識結構復雜龐大、思想方法轉換多樣以及推理論證難等。而大部分普通院校的學生存在數學基礎差、適應能力不強以及學習動力不足的現象，甚至有些學生對數學分析產生畏懼心理。本文從教學角度分析，對教師如何才能有效提高數學分析這門課程的教學質量方面提出幾點建議：

1.重視緒論課教學

由于數學分析的理論高度抽象性的特點，大部分學生對數學分析的興趣不夠，而興趣是學習最好的推動力，為了激發學生的學習興趣，增強學習的主動性，緒論課的教學起著至關重要的作用。作為一名教師要想上好緒論課，必須要有豐富的知識儲備，不僅需要熟悉現代理論，還要了解該課程的歷史發展過程以及與其它相關學科的密切聯系。在緒論課上，要讓學生了解微積分學簡史，明確其在整個數學發展中的作用與地位，使學生知道數學分析不是無源之水，它們都來源于解決實際問題的需要。現在很多學生在學習上缺乏堅韌不拔的精神和毅力，針對這種情況，在教學中可以用一些優秀科學家的事跡去激勵鞭策他們。例如在學習極限時，柯西極限存在準則是極其重要的內容，而且在后面的學習中還有一些以柯西命名的定理，如果向學生介紹柯西的有關事跡，他們不再覺得柯西只是個代號且這個人遙不可及，這樣就能激發他們的興趣，加深對定理的記憶。首先，通過緒論課，學生可以了解數學分析課程知識體系、研究對象、研究目的和方法以及與初等數學的關系。總體而言，數學分析課程是用極限這個有力的工具研究定義在實數集上的函數，研究的方向包括微分、積分以及級數等，這使得學生對數學分析課程有一個整體的了解。其次，教師講幾個數學分析在其它學科中的應用的典型實例，這樣可以使學生意識到學習這門課程的意義與作用，從而激發他們學習的興趣，端正他們的學習態度。緒論課不僅指開課之初所講的總的緒論課，也包括講授每章內容的開始，教師要向學生介紹這一章的重點、難點以及要解決的問題。教師在每章的開始都給出相應的提綱是非常必要的，這樣能使學生對本章內容做到心中有數，對學生學好這一章起到了重要作用。

2.注重概念的引入

數學分析課程的抽象性主要體現在基本概念的高度抽象性、嚴密性。理解基本概念是前提和基礎，學生只有把基本概念理解清楚才能進行解題和進一步的研究。教師在教學中引入概念要找到正確的方式，適應學生的思維發展，這樣才能使學生很好地接受。實際上，數學分析中的許多重要概念都是從實際問題中抽象出來的，通過對典型例子的分析，可以幫助學生加深理解。例如在引入導數這個概念的時候，通常以瞬時速度和切線的斜率為背景，這兩個不同的問題都可以歸結為“差商”的極限。實際上導數是關于所有瞬時變化率問題的一個抽象概括，這樣就可以讓學生明白導數概念中包含的思想，更好地理解導數的概念。有些概念敘述起來特別復雜，學生學完概念做題時還是很茫然，不知從何下筆。如果教師把概念講清楚，并且能用簡潔的語言進行概括，學生掌握起來就能輕松些。比如定積分的概念敘述起來特別繁瑣，學生很難理解，但是產生定積分概念的背景來源于求梯形的面積、變力作功等問題，這些問題都歸結為特定形式的和式逼近，解決它們的思想方法就是“分割、近似求和、取極限”。再比如第二型曲面積分的計算問題是一個綜合的微積分問題，是數學分析教學中的重點也是難點的內容，并且在物理問題中有著廣泛的應用。要讓學生掌握第二型曲面積分計算，除了理解概念外還要掌握它的計算步驟，可以將它的計算步驟概括為“一代二投三定向”。所謂的“一代”是指根據曲面方程表達式把被積函數中的三元函數化為與積分變量一致的二元函數；“二投”是指將曲面投影到與積分變量一致的坐標平面上，這樣積分區域由曲面變為平面；最后將根據曲面的側對應的法向量與相應坐標平面的法向量的夾角來決定積分前面加正負號，如果小于90°加正號，如果大于90°加負號，等于90°積分值取零，即“三定向”。經過這樣的分解步驟，第二型曲面積分的計算轉化為了二重積分。數學分析課程的邏輯性很強，概念相關程度很高，尤其是極限概念是微分、積分與級數等概念的基礎，如果前面的概念沒有掌握好，后面的內容就很難理解清楚。因此，做好概念的教學是非常重要的。

3.改進教學模式與手段

當今社會要求大學生不僅要有一定的知識，還要具備一定的能力，比如適應能力、實踐能力、創新能力等。這就要求教師在教學中也要不斷創新、與時俱進。在傳統的教學模式中，以教師傳授知識為主；學生被動接受，很少參與進來。這使得學生對學習缺少主動性，容易對數學分析產生一種神秘感，甚至逐漸失去學習這門課程的興趣。現代教育思想更多強調學生的主體作用，主張教師加以引導、學生積極參與。要改變課堂講授過程中灌輸式的教學模式，教師需要在備課過程中精心設計問題，引導學生通過觀察、思考、分析、歸納總結出結論與方法，提高學生學習的主動性。同時，教師在課堂上對內容的講授要做到少而精、突出重點、詳略得當、合理分配教學時間。另外，教師還可以綜合應用討論式、啟發式、對比式、歸納式等各種教學方法，提高學生的學習趣味性。學生通過思考、分析、表達和解決問題過程的訓練，可以增強創新意識提高應用數學的能力。

對于數學分析的教學，多年以來高校一直采用“粉筆+板書”的傳統講授法。隨著電子信息時代的到來，多媒體在現代教育技術中已經得到了廣泛的應用。使用多媒體可以使內容更直觀、更具體、更形象。傳統課堂教學以文字敘述為主，定義、公式、定理基本上是呆板地出現在黑板上。利用多媒體可以結合空間圖形得以直觀體現，這樣可以從根本上改變作圖不規范、色彩單調的弊端，從而更好地吸引學生的注意力，激發學生的學習興趣。如何正確使用多媒體，處理好傳統教學模式與現代教學手段的關系，是今后教學中值得探究的一個問題。對多媒體的使用方面通常存在兩種誤區，一種認為使用多媒體教學就是把原來應該寫在黑板上的內容做成幻燈片形式上課放映出來。這實際上是對傳統教學的一種簡單復制，這樣做不但不能解決傳統教學中抽象枯燥的問題，反而容易造成學生注意力不集中、走神等現象，教學效果會更差。另一種認為多媒體課件應該做得越復雜越華麗越好。但是如果課件過于追求華麗的形式，使用過多的動畫、圖片以及音效等，學生會出現眼花繚亂、注意力分散的現象，往往忽視了教學的核心內容。成功地應用多媒體的教學模式，應該是在傳統教學的基礎上，根據實際情況適當使用多媒體，將兩種教學手段有機結合，使之達到良好的教學效果。另外，除了傳統教學內容外，還應該開設一些數學實驗課，比如講授一些函數作圖、數值計算、數學模型的求解等內容，使得學生學會運用一些必要現代化的計算機技術和軟件包，以此提高它們的實踐能力和創新思維。

4.做好課后輔導工作

大學數學與高中數學教學相比，課時明顯減少，一節課要講的內容較多。因此，在課堂上，教師盡量用比較少的時間講清知識點，選取典型的例子給學生做示范，并讓他們自己動手做一些題目，這樣才能加深印象。由于數學知識前后聯系比較緊密，如果不加以鞏固每一個知識點和及時處理存在的問題，那么這些問題將影響后面知識的學習。大學生自由支配時間相對較多，利用課下時間練習鞏固也是學習的一個重要環節。教師在每堂課上完之后應該給學生留相關的作業、練習題、思考題等。課后教師應該及時批改作業，對作業中普遍存在的問題做好記錄。每周最好能在課余時間安排一次答疑課，對學生的薄弱點及時處理，免得前面的沒有掌握牢固對后面知識的學習造成影響。如果沒有條件安排答疑課，課堂上應該抽出一定的時間對普遍存在的問題、沒有掌握的知識點進一步講解。輔導這一環節在學生的學習中相當重要，教師絕不能忽視。

三、結束語

上面給出了幾種基本的教學方法，除此之外還有一些其它教學方法，在實際教學過程中應該根據學生的實際情況靈活運用各種教學方法，這樣才會取得良好教學效果，起到事半功倍的作用。另外，提高數學分析課程的教學質量和效果是一個復雜的系統工程，需要教師、學生、教務部門等各方面相互協調與配合。從教師的角度來說，教師應該本著以學生為本，處處為學生著想原則，努力提高教學質量。

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