合情推理在數值分析教學中的應用

摘要：以數值分析中數值積分的Newton-Cotes公式、復化梯形公式的教學方法為例，討論教學中如何使用合情推理的教學方法，將學生從傳統的灌輸教學模式中解脫出來，由被動的接受轉變為主動的思考、猜想，與老師一起探討并形成互動，從而提高課堂教學效果。

關健詞：數值分析；合情推理；教學方法

作者簡介：殷政偉（1980-），女，河南伊川人，河南科技大學數學與統計學院，講師；王天軍（1963-），男，河南息縣人，河南科技大學數學與統計學院，副教授。（河南 洛陽 471000）

基金項目：本文系國家自然科學基金（批準號：50771042）的研究成果。

中圖分類號：G642.41 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2013）32-0110-02

一、問題的提出

21世紀是一個信息化的世紀，隨著計算機性能的不斷提高，科學計算在解決現代科學技術問題中所起的作用越來越大，幾乎滲透到科學計算的各個領域。計算數學正是科學計算的基礎，數值分析是計算數學中最基本的內容，是一門與計算機使用密切結合的實用性很強的數學課程，具有理論性和實踐性的雙重特點。該課程是一門內容豐富，研究方法深刻，有自身理論體系的課程，既有純數學高度抽象性與嚴密科學性的特點，又有應用的廣泛性與實際試驗的高度技術性的特點。[1]傳統的課堂教學模式及教學方法存在著一些弊端：第一，課程的內容多，課時少。為了傳輸更多的知識，很多老師在講課時都會把上課時間安排得滿滿的，能留給學生思考的時間很少甚至沒有，師生之間的互動較少。第二，偏重理論，輕視實踐。很多數學老師都認為只要把方法的原理講清楚就可以了，至于方法的實現則是學生自己的事情。這種看法及做法很大程度上傷害了學生的積極性和主動性，使學生很難體會到這門課的實用性，對這門課的理解也會大打折扣。第三，講課中重視理論的證明，忽視了合理的猜想、歸納、分類以及對知識的拓展。第四，老師是課堂的主角，而學生是配角。學生多是被動接受和模仿，很少有創新。第五，教學工具單一。很多院校的老師基本上都采用“一枝筆，一塊黑板”的教學手段，以至于有很多好的實驗結果無法被形象展示，無法體現數值分析課程學習的特點。那么，如何在有效的時間內調動學生的學習興趣，引導學生對所傳授知識進行合理的歸納、猜想、總結以及拓展，從而提高學生的學習效率，使他們對所學知識有個深刻理解和形象記憶就顯得非常重要。

二、對合情推理的認識

合情推理是波利亞的“啟發法”（heuristic，即“有助于發現的”）中的一個推理模式。它是指觀察、歸納、類比、實驗、聯想、猜測、矯正與調控等方法。波利亞很早就注意到“數學有兩個側面，用歐幾里得方式提出來的數學是一門系統的演繹科學，但在創造過程中的數學卻是實驗性的歸納科學”。因此，他明確提出有兩種推理：論證推理可用來確定數學知識，合情推理可用來為猜想提供依據，即波利亞指出的數學思維不是純“形式”的，它所涉及的不僅有公理、定理、定義及嚴格的證明，而且還有許許多多其它方面，比如推廣、歸納、類推以及從具體情況中辨認出或者說抽取出某個數學概念等。貫徹任何科學發現的思維，也主要是合情推理。量子力學方程是猜出來的；球體公式是阿基米德“稱”出來的；在對熱在金屬中流動的觀察研究中，傅立葉發明了級數；而現代仿生學則是類比推理在科技中應用的杰出成果。由上可以看出，“所學到的關于世界的任何新的東西都包含著推理，它是日常事務中所關心的僅有的一種推理”。合情推理是各學科之間，社會生活中的文化大使，是現代化社會公民的必備文化素質。作為一名數學教師有責任使學生了解這些十分重要的“非形式”思維過程，進而使數學的教學變得多樣化、形象化。

三、合情推理在數值分析教學中的應用

數值分析這門課信息量大，實用性強，課程內容決定了在講解時必然會涉及到大量復雜的公式以及算法分析。那么在教學中，如何使這些復雜的公式變得通俗易懂？如何使學生的主動性、創造性、靈活性得到充分的發揮？如何使原本枯燥的知識變得生動？筆者認為只有在教學中加強對學生的啟發和引導，使他們能夠進行合情的推理、合理的猜想，讓他們主動參與到這門課的教學當中，只有這樣，才能使學生對一些比較深奧晦澀的理論知識有更深刻的理解。下面舉例說明如何將合情推理運用到數值分析的教學中。

1.合情推理在講解數值積分思想中的應用

數值積分是數值分析中重要的一部分，該部分內容主要是介紹積分的數值方法，包括Newton—Cotes求積公式，Gauss型求積公式以及這兩類公式的改造與變形。面對眾多復雜的公式，如何使學生在理解的基礎上去記憶公式，做到事半功倍呢？這就需要同學們對數值積分的思想有一個深刻的理解。在講解這一部分內容時，教科書中是直接將一些函數為什么要進行數值積分的原因直接羅列出來。在講課時，如果照本宣科，一方面學生沒有興趣，另一方面，學生即使知道了，也印象不深刻。因此，在處理這一部分內容時，可先引導同學們復習一下高等數學的知識。在高等數學中，求一個函數的積分主要依據是Newton-Lebniz公式，而該公式成立的條件是被積函數要有具體的表達式，且連續。這個時候可引導同學們去思考以下幾個問題：是否所有的函數都有具體的表達式？是否所有的函數都連續？是否所有的連續函數都可以找到其原函數？提出這幾個問題之后，可以適當地給學生留些時間考慮和討論，讓學生也參與到課堂教學中。實際上，以上三個問題的答案都是否定的。經過討論，學生們就會發現這樣一個事實：以前以為萬能的Newton-Lebniz公式卻對很多函數的積分都無能為力。接下來，就可以讓學生做歸納，總結出不能用Newton-Lebniz公式求解積分的函數有以下幾條：被積函數是一個表格函數，沒有具體的表達式；被積函數不連續；被積函數連續，但其原函數無法用初等函數表示；有些被積函數的廣義積分無法計算。像這樣把問題拋出來之后，經過討論并得到解決，這比直接給出問題的答案顯然更能激發學生的興趣，也使學生的印象更加深刻。學生了解到有很多函數的積分無法用Newton-Lebniz公式求解，在這種情況下，適時提出數值積分，即求積分的近似值，不僅使學生對數值積分的重要性以及必要性有深刻的認識，同時也對數值積分所要解決的主要問題有所了解。通過以上的分析、推理，不僅讓學生明白數值積分的必要性，還調動了他們學習的積極性。

綜觀上述幾類不能用Newton-Lebniz公式求積分函數類會發現問題都是出在被積函數上。因此，要想求這幾類函數的數值積分，只有從被積函數入手。這個時候可引導同學們進行合理的猜想：能否用一些簡單的可積的函數去近似代替這些被積函數？如果能，選擇什么樣的簡單函數？如果選擇了一些簡單函數，那么近似值和準確值之間的誤差又如何估計？提出問題后，有些同學就會想到學過的比較簡單又可積的就是多項式函數。例如，，是被積函數在區間上關于節點的插值多項式。可以用的積分近似代替的積分，即

即為大家所熟悉的梯形公式。

，插值節點分別為

，

數值積分公式為：

即為大家所熟悉的Simpson公式。

講完這兩個數值積分公式后，就可以讓學生自己去歸納總結數值積分的基本思想并通過合理的推理和猜想構造更多的數值積分公式。

2.在講解復化求積公式中引入類推、猜想，揭示數學思維過程

前蘇聯數學教育家斯托利亞爾指出：“數學教學是思維活動的教學”。因此，培養學生的數學思維，揭示數學思維過程是數學教師的重要任務，而揭示數學思維過程，一定程度上來源于模擬數學家的探索過程，而這種過程往往以類推、猜想開始。所以，在講解一些數值算法之前，可以將以往的一些算法歸納總結，然后在這些算法的基礎上做些大膽的猜想，然后再深入細致地分析，從而得出一些新的算法。例如在講解復化求積公式時，可先引導學生回憶定積分的定義，即分割、近似、求和、取極限。這時就可引導學生從定積分的定義出發做一些猜想：做近似計算時，不可能進行無窮多次的運算，只能從某處截斷，進行近似計算。因此，把定積分定義的最后一步去掉，即只做有限次的求和，這樣就可以仿照定積分的定義引入復化求積的思想，步驟如下：

（1）分割。將積分區間等分成n個小區間（也可以不等分），即在區間上插入個節點，，記為第i個小區間，每個小區間長度為。如圖1所示。

（2）近似。用梯形面積（也可用其它規則的幾何圖形面積）近似代替曲邊梯形的面積Si，即在小區間上：

（3）求和。把每個小區間上梯形面積加起來，就得到了大的曲邊梯形面積的一個近似值，即：

進一步化簡整理，就得到了常用的復化梯形公式：

整個講解過程也可以配合圖1來詳細說明，并且通過圖1也可以對復化求積公式的誤差有個形象的了解。

四、結語

總之，在數值分析教學中適當引入合情推理的模式有助于發揮學科的兩個功能，并學會發現和發明的方法。給合情推理能力的教學以適當的地位，是開發學生創造性素質的需要，是全面提高學生優秀文化素質的需要，是全面開發大腦潛力的需要。在教學實踐中加強合情推理的教學，可以使學生提高學習的興趣，發揮學習的積極性、主動性，提高解決問題的能力。

參考文獻：

[1]李慶揚，王能超，易大義.數值分析[M].武漢：華中科技大學出版社，2004.

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