融入數學建模的大學數學課程抽象理論教學研究

摘要：通過對概率統計中兩個最原始的概念（概率空間與統計結構）和高等數學中一個最抽象的定理（Weierstrass定理）的教學中如何融入數學建模思想的分析，揭示了在大學數學核心課程的教學中，數學建模與深化學生對基本概念的理解以及加強對抽象數學理論的實際應用能力的培養之間的關系。

關鍵詞：數學建模；大學數學；基礎理論教學；能力培養

作者簡介：于林（1965-），男，山東濱州人，三峽大學理學院，教授。（湖北 宜昌 443002）

基金項目：本文系三峽大學教學研究項目（項目編號：J2010057）的研究成果。

中圖分類號：G642.1 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2013）32-0124-02

大學生數學建模競賽和數學建模活動在對大學生創新能力培養和數學技術應用能力培養中的重要作用已經是一個不爭的事實，而在大學數學課程教學中融入數學建模思想的理念也被廣大的數學教師所公認，并且取得了許多寶貴的實踐經驗。但是，在眾多關于此問題的教學研究文獻中，基本上都是僅僅就高等數學課程中那些本身就具有很強的應用性的數學方法和數學技術介紹了其在數學建模中的一些應用實例，而難得見到有關如何將原始的數學概念和抽象的數學定理的教學與數學建模相互聯系的研究和分析。本文旨在通過對概率統計中兩個最原始的概念（概率空間與統計結構）和高等數學中一個最抽象的定理（Weierstrass定理）的教學中如何融入數學建模思想的分析，揭示了在大學數學核心課程的教學中，數學建模與深化學生對基本概念的理解以及加強對抽象數學理論的實際應用能力的培養之間的關系。目的在于進一步探討如何借助數學建模來激發學生對數學課程的學習興趣，深化學生對抽象理論的理解。

一、最原始的概念，最基本的模型

眾所周知，概率論和數理統計理論中有兩個最原始的基本概念，一個是概率空間，另一個是統計結構（或者統計模型）。通常在“概率論與數理統計”課程教學中一般總是這樣進行的，在給定了概率空間（Ω、F、P）之后，研究定義在其上的隨機變量及其分布等性質；在給定了統計結構（或者統計模型） 之后，研究其上的樣本、抽樣分布及其由此而建立起來的統計推斷問題。例如，一般的課本上幾乎都是主要介紹建立在“正態分布總體”這樣一種統計結構上的統計推斷理論的。但是，只要稍微仔細思考一下，就會發現一個被忽略的問題：這種作為研究起點的所謂“概率空間”和“統計結構”是怎么來的？這一問題一般情況下被教師和學生所忽略，因為同學們只需要會做課后的習題就夠了，而在每一個習題里這些所謂的“起點”早就被題目的設計者給設計好了。于是，時間久了，同學們也就習慣了，很容易由此而造成一種假象，似乎這些作為“起點”的東西是天生的，或者是自然就有的，很容易對這一課程中最基本的兩個概念缺乏必要的理解。

然而，如果將這一問題與數學建模結合起來則情況就大不一樣了。對于數學建模，任務不再是求解那種被人設計好的習題，而是面對的各類實際問題。運用概率分析的方法或者統計分析的方法對這些實際問題進行研究，但是概率分析理論、統計分析理論都不能直接作用于任何實際問題，這就需要首先確定這一實際問題所對應的“概率空間”或者“統計結構”是什么。事實上，“概率空間”就是架設在實際問題和概率分析理論之間的一座橋梁，而“統計結構”即是貫通在實際問題和統計分析理論之間的一條隧道。隨機數學建模或者統計分析建模從對“概率空間”和“統計結構”的建立就已經開始了。

1.概率空間

（1）隨機現象與隨機試驗。數學建模的研究對象都是一些實際的問題，如果這一實際問題表現為具有某種隨機性的時候則被認為是一種隨機現象，因此準備運用概率分析的方法進行研究。但是，概率理論直接的研究對象并不是隨機現象，而是為研究隨機現象所作的隨機試驗（Random Experiment）。為簡單計，今后凡是在概率論中的隨機試驗皆簡稱為試驗，并記之以英文字母E。對于數學建模者需要指出的是：對于同一隨機現象，根據研究者的研究目的和研究方法的不同可以設計不同的隨機試驗。

例如，某同學打籃球投籃，這當然是一個隨機現象，因為他可能投中也可能投不中，也就是說他每次投籃是否能投中具有隨機性。假設現在要考察該同學投籃的命中率，可以設計如下兩種不同的隨機試驗。試驗E1是讓該同學先后投籃10次，看他其中能投中幾次；試驗E2是請該同學連續投籃直到投中為止，看該同學共需要投幾次才能投中。由于所設計的隨機試驗不同，因而所產生概率空間就不同，以后所運用的概率分析方法也就不一樣。

（2）樣本空間。當確定了隨機試驗E之后，稱試驗E的每一個可能結果為樣本點（Sample Point），并稱由全體樣本點的集合為試驗E的樣本空間（Sample Space），并分別用希臘字母ω和Ω表示樣本點和樣本空間。

例如，對于上述的兩個試驗，試驗E1的樣本空間可以表示為，其中表示該同學在該次試驗中共投中k個球；試驗E2的樣本空間可以表示為，其中表示該同學在該次試驗中總共的投籃次數。注意，是一個有限樣本空間，而則是一個無限樣本空間。

（3）幾何概率模型的實例。幾何概率在現代概率概念的發展中起到了非常重大的作用。在19世紀，人們一度認為任何概率問題都有唯一的解答，然而Joseph Bertrand在1888年提出的一個問題改變了人們的想法，這就是貝特朗奇論（Bertrand’s paradox）。

Bertrand奇論：在一半徑為1的園內“任意”作一弦，試求此弦長度l大于園內接正三角形的邊長的概率P。

解法1：由于對稱性，可預先固定弦的一端。僅當弦與過此端點的切線的交角在60°～120°之間，其長才合乎要求。所有方向是等可能的，則所求概率為1/3。

解法2：由于對稱性，可預先指定弦的方向。作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于1/4 點與 3/4 點間的弦，其長才大于內接正三角形邊長。所有交點是等可能的，則所求概率為1/2。

解法3：弦被其中點位置唯一確定。只有當弦的中點落在半徑縮小了一半的同心圓內，其長才合乎要求。中點位置都是等可能的，則所求概率為1/4。

于是得到了三個不同的答案，原因是什么呢？這是因為三種解法中使用了三個不同的隨機試驗，從而得到三種不同的概率空間。解法1 的樣本空間Ω1是全圓周；解法2的樣本空間Ω2是直徑上點的全體；解法3的樣本空間Ω3是二維區域C。這一例子說明，對于同一個問題，由于構造了不同的概率空間而可以得到不同的結論。相對于各自的概率空間，每一種解法都是正確的，而概率空間即是最基本的數學模型。

2.統計結構

（1）對統計總體的認識。正如“概率空間”是概率研究的起點一樣，“統計結構”（或稱統計模型）則是統計分析的起點。數理統計學就是這樣一門學科：它使用概率論和數學的方法，研究怎樣收集（通過試驗或者觀察）帶有隨機誤差的數據，并在設定的統計結構（或稱統計模型）之下，對這種數據進行分析（稱為統計分析），以對所研究的問題做出推斷（稱為統計推斷）。

面對應用中遇到的實際問題，統計結構是如何得來的呢？首先，來看一下如何認識統計的總體。所謂統計總體是指具有某種分布的隨機變量（或隨機向量）。所以，通常總體記為隨機變量ξ，它服從某分布（族）P。

（2）統計結構（統計模型）。統計總體的隨機變量量ξ及其服從的分布P統稱為統計結構（或統計總體），P代表的實際上是一族分布函數。如果已經知道P的分布類型，即已知分布函數的類型，只是對其中的某個或者某幾個參數θ未知，則問題就歸結為根據樣本值推斷參數θ究竟取何值為好。此類統計模型就是參數模型，涉及的統計問題就是參數統計問題。如果連分布函數的類型也知道得很少，以至于不能給出參數模型，那么問題就成為非參數統計問題。

以對某物理量的測量問題為例：假設有某物理量μ，采取多次測量的方式以求得到該物理量真實值μ的估計。如何建立統計模型呢？

模型一：設總體隨機變量，其中，所以

該研究者認為：測量儀器工作狀態穩定，可以認為測量結果只存在隨機誤差。根據誤差分析理論，此時有理由認為誤差服從正態分布，由此總體隨機變量。其中均值μ和方差都未知。所以該模型是一個含有兩個未知參數的正態分布函數族。

現在再設想，假如該項測量工作是由一個非常專業的測量團隊來完成的，因此事前可以假設測量的精確程度是已知的，即可以假設上述的方差已知，且取值為，于是又有如下模型。

模型二：設總體隨機變量，其中，所以

當然，與建立模型二時相反，建模者可能十分悲觀，或者事實上也是如此，這就是事前對該總體的信息收集實在太少。研究者只能肯定的是測量者既不會有意把數據夸大，也不會有意縮小，也就是測量所得的隨機變量關于真實值應該是左右對稱的，除此之外沒有其它信息了。這樣就只能設置模型如下：

模型三：設總體隨機變量{對稱分布}。

模型三得到的只是一個非參數統計模型，因此決定了首先必須運用非參數統計進行分析和研究，這較之前兩種模型要復雜得多。

二、最抽象的定理，最直接的應用

1.Weierstrass定理

有界閉區間上連續函數的性質表現為一系列十分抽象的定理，Weierstrass定理是其中的一個。一方面，從理論上講，它們在微積分理論體系中具有非常重要的地位；而另一方面，它們在形式上十分抽象。因此，一般情況下，學生們會認為其沒有實用價值。其實正好相反，在數學建模中Weierstrass定理就經常被用到。該定理說：如果是上的一個連續復函數，那么便有多項式的序列，使得在上一致地成立。如果是實函數，則是實多項式。

2.在數學建模中的一個應用

土豆施肥效果分析：在土豆生長期間，施用不同量的氮（N）和鉀（K）肥，土豆產量結果見附表1，求土豆產量與施肥量之間的關系。

首先，為了計算方便，對數據作中心標準化處理，即令：

，

如果說，施肥量x1、x2與土豆產量y有很密切的關系，則應該有，其中可能是線性函數，也可能是非線性函數，探求的具體形式是本題的目的，需要用回歸分析方法。

（1）失敗的線性回歸模型。通常情況下，同學們首先想到的是線性模型：。根據最小二乘法計算得回歸方程：。但是這個模型的效果究竟如何呢？計算多重判定系數得。顯然，該線性模型對所給數據的擬合效果很差，由對數據的直觀觀察亦可以看出，用線性模型去擬合所給數據是不合適的。

（2）有效的多項式回歸模型。顯然，所求的函數關系肯定不是線性函數，而一定是一個非線性函數。然而，非線性函數有無數種，最有可能是哪一種呢？此時，Weierstrass定理幫了大忙。其實，無論是什么樣的非線性函數，總可以用多項式去逼近。因此，可以考慮為多項式函數，且不妨從最低階的二次多項式開始。

設模型為：，

同樣根據最小二乘法計算得回歸方程：。經計算多重判定系數為：。由此可知該模型擬合效果非常好，問題得到圓滿解決。

三、結論

由上述實例分析可見，恰當地將數學建模融入大學數學課程教學，不僅有利于對學生數學應用能力的培養，而且更重要的是還可以幫助學生對抽象的基本概念和理論的理解。因此，對于更多的抽象概念和定理，如何引入適當的數學模型是一個非常值得進一步詳細探討的問題。

參考文獻：

[1]李大潛.中國大學生數學建模競賽[M].第四版.北京：高等教育出版社，2008.

[2]李大潛.將數學建模思想融入數學類主干課程[J].中國大學教學，2006，（1）：5-10.

[3]李炳照.數學建模思想融入數學類課程的思考與實踐[J].高等理科教育，2006，（5）：32-35.