將數(shù)學(xué)美融入“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)中的探究

摘要：結(jié)合多年的“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)實踐，分析了“高等數(shù)學(xué)”課程內(nèi)容的現(xiàn)狀以及教學(xué)中所存在的一些問題，針對此課程相應(yīng)地指出了教學(xué)過程中可以融入的數(shù)學(xué)美教育。可以在講授數(shù)集的時候介紹數(shù)學(xué)的完備之美；在講授牛頓萊布尼茲公式的時候介紹數(shù)學(xué)的對稱之美；在講授格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的時候介紹數(shù)學(xué)的統(tǒng)一之美；在講授隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的時候介紹數(shù)學(xué)的抽象之美；在講授級數(shù)的時候介紹數(shù)學(xué)的自然之美。這些數(shù)學(xué)美教育的融入，有利于學(xué)生充分地了解數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而提高教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；完備；對稱；分形幾何

作者簡介：蹇紅（1980-），女，四川瀘州人，重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院，講師；沈世云（1967-），男，重慶人，重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院，講師。（重慶 400065）

基金項目：本文系重慶郵電大學(xué)教育教學(xué)改革研究項目（項目編號：XJG1103）的研究成果。

中圖分類號：G642.1 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-0079（2013）32-0136-02

“高等數(shù)學(xué)”是系統(tǒng)性、抽象性很強的一門課程，[1-3]也是大多數(shù)理工科學(xué)生極其重要的一門基礎(chǔ)課，對他們的后續(xù)課程學(xué)習(xí)有極其深遠的影響。然而很多初學(xué)者，對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣原本就不高，加上對知識理解不透，記憶不牢，很快就失去了學(xué)習(xí)興趣，甚至開始厭惡數(shù)學(xué)。[4]因此，設(shè)法讓學(xué)生深刻地了解數(shù)學(xué)，調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，成為教學(xué)中應(yīng)注意的重要問題。筆者經(jīng)過多年的教學(xué)實踐，在教學(xué)中巧妙地滲透了數(shù)學(xué)美的教育，對提高學(xué)生學(xué)習(xí)高數(shù)的積極性做了大量有益的嘗試和探索。

一、講授數(shù)集的時候介紹數(shù)學(xué)的完備之美[5，6]

數(shù)學(xué)史的年齡幾乎和人類史的年齡一樣漫長，經(jīng)過一代又一代數(shù)學(xué)家的研究，數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展成了一個成熟的體系，應(yīng)用了大量的數(shù)學(xué)符號，展現(xiàn)給一個充滿完備性的美麗世界。就拿最簡單的數(shù)說起，實數(shù)集是具有完備性的，它對任意次的四則運算和正數(shù)的根次運算都具有封閉性。后來引入虛數(shù)單位，實數(shù)集擴展到復(fù)數(shù)集，復(fù)數(shù)集也是完備的。數(shù)的本身的發(fā)展過程，也是非常生動有趣的。在學(xué)生接觸高等數(shù)學(xué)的初期，鳥瞰數(shù)域的發(fā)展過程，不僅可以讓學(xué)生加深對數(shù)的理解，也可以大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，促使他們更快地適應(yīng)大學(xué)的課堂，激發(fā)他們繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。當(dāng)所授班級的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較扎實，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣比較濃厚的時候，也可趁熱打鐵地拋出群環(huán)域的概念。

如果把數(shù)和空間中的點建立很好的對應(yīng)關(guān)系，就能得到完備的空間，一維空間、二維空間或者三維空間，都能夠辦到。而三維空間就是所存在的世界，這是多么有趣的結(jié)果啊。世界可以用數(shù)來進行描述，數(shù)學(xué)怎么能不重要呢？具有完備性的空間，是具有很好的性質(zhì)的。比如在工程中應(yīng)用廣泛的Hilbert空間就是一個完備的空間，它的創(chuàng)始人Hilbert是20世紀最偉大的數(shù)學(xué)家之一。

在高數(shù)課堂中，在講數(shù)列極限的時候，也可提出諸如“收斂的有理數(shù)序列的極限是否一定是有理數(shù)”，“收斂的正數(shù)序列的極限是否一定是正數(shù)”之類的問題啟發(fā)同學(xué)們積極思考，并在思考過程中感受數(shù)學(xué)的完美魅力。

二、講授牛頓萊布尼茲公式的時候介紹數(shù)學(xué)的對稱之美

提到對稱的美，大家首先想到的是幾何，其實幾何只是一方面，是“看得見”的那一方面。實際上，對稱性在數(shù)學(xué)中處處存在。如微積分的基本定理，展現(xiàn)了微分與積分之間的緊密聯(lián)系，本身具有很強的對稱性。[7]如泛函中的對偶算子，不但在運算上具有顯著的對稱性，在性質(zhì)上也處處顯示出一致性。[8]

在高數(shù)教材講到空間曲面時，會出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)曲面這一重要概念。所謂旋轉(zhuǎn)曲面，是指一條平面曲線繞著一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面。該曲線稱為母線，定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸。變換母線旋轉(zhuǎn)軸以及他們的位置關(guān)系，很快就能得到許許多多的旋轉(zhuǎn)曲面。他們都有兩個基本特征：一是具有很好的對稱性；二是任意垂直于旋轉(zhuǎn)軸的截面圖形是圓周。正是由于旋轉(zhuǎn)體的對稱性，他們看起來都十分美觀大方。曾經(jīng)有一個得大獎的礦泉水廣告，先是幾個身穿潔白紗裙的美女在跳舞，由慢變快，不停地旋轉(zhuǎn)，逐漸加速，慢慢地美女們一個個變成了礦泉水瓶。這個廣告的成功之處就在于制作者成功地運用了礦泉水瓶的幾何特征以及旋轉(zhuǎn)體帶來的視覺享受。所以，在講授二次曲面或者利用積分求旋轉(zhuǎn)體體積時，感嘆數(shù)學(xué)的對稱美，[9]一定能引起很多學(xué)生的共鳴。

三、講授格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的時候介紹數(shù)學(xué)的統(tǒng)一之美

在“高等數(shù)學(xué)”的教學(xué)過程中，多元積分學(xué)對許多學(xué)生來說都具有很大挑戰(zhàn)性。如果逐一介紹牛頓-萊布尼茨公式、Green公式、Gauss公式和Stokes公式之后，能在恰當(dāng)?shù)臅r候告訴同學(xué)們，所有的這些公式是能夠?qū)懗梢粋€漂亮而簡潔的式子，效果一定是超乎想象的。當(dāng)然，在具體的教學(xué)過程中，可以把統(tǒng)一的Stokes公式寫在黑板上，然后對外積運算（Λ）、微分形式（ω）和外微分（dω）做蜻蜓點水式的介紹，拋磚引玉即可。由于大統(tǒng)一的斯托克斯公式極其簡單漂亮，不僅將整個微積分中幾個重要的貫穿始終的公式統(tǒng)一起來，而且還能推廣到更高維的空間中去。經(jīng)過筆者多年的實踐發(fā)現(xiàn)，這樣的講授總能給學(xué)生以心靈的震撼，讓他們留下了深刻的印象，大大激發(fā)了同學(xué)們學(xué)習(xí)高數(shù)的熱情與興趣。

數(shù)學(xué)中像這樣漂亮的公式還有很多，比如歐拉公式。這個式子把數(shù)學(xué)中幾個“偉大”的數(shù)給聯(lián)系到了一塊，它們分別是自然對數(shù)、圓周率、虛數(shù)單位以及1，其中前兩個是超越數(shù)，是無數(shù)個超越數(shù)中人類目前僅僅找到的兩個，而且這兩個對數(shù)學(xué)影響巨大。筆者大膽猜想，當(dāng)下一個超越數(shù)被找到的時候，數(shù)學(xué)將會經(jīng)歷另一場巨大的革命。每次在課堂上的這些介紹，總能將學(xué)生的注意力牢牢吸引住，大大加深了學(xué)生對這部分知識的理解。

四、講授隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的時候介紹數(shù)學(xué)的抽象之美

“抽象”一詞，來源于拉丁文“abstractic”，原意為“排出”、“抽出”之意。數(shù)學(xué)很抽象，抽象性是數(shù)學(xué)最基本的性質(zhì)。數(shù)學(xué)家所研究的是抽象的事物，他們所采取的研究方法也是抽象的方法。英國數(shù)學(xué)家懷特海（Whitehead）曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)是在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行的研究。”

也許有人認為，抽象是不好的，因為離現(xiàn)實太遠。可是筆者認為，數(shù)學(xué)如果不抽象，便難以發(fā)展，雖然很多問題都是從現(xiàn)實引出的，但很難或根本不可能就具體的實踐去檢驗。例如古代印度人兩塔發(fā)明了（國際）象棋，當(dāng)政的國王十分開心，決定重賞兩塔，而兩塔所要的賞賜看似簡單：在棋盤上賞些麥子，第一格放一粒，第二格放二粒，以后每格放的麥粒都是前一格的2倍，直至放滿64格。國王以為幾粒麥子算什么，殊不知一動手放麥粒，國王傻了眼。原來這些麥子總數(shù)為，大約是全球兩千年所產(chǎn)小麥的總和。這個例子說明數(shù)學(xué)中基本元素“數(shù)”的抽象，那些貌不驚人的“數(shù)”，竟會大得使人難以想象。再如367人中，肯定會有兩個人的生日相同；13個人中至少有兩個人的屬相相同；全世界任意找6個人，其中至少有3個人彼此相識或彼此不相識等等。這些事也許使人想不通，但事實正是如此，它們都可以借助數(shù)學(xué)中的“抽屜原理”得到證明，體現(xiàn)了抽象的數(shù)學(xué)問題閃耀著神秘之美，令人由衷地贊嘆。之所以研究抽象函數(shù)，也是因為它在實際生活中真實的存在。

五、講授級數(shù)的時候介紹數(shù)學(xué)的自然之美

很多教材在引入級數(shù)的相關(guān)概念的時候使用了一個面積有限、周長無限的平面幾何的例子。如果在此基礎(chǔ)上介紹分形幾何一些基礎(chǔ)知識，必定會讓學(xué)生們受益匪淺。上個世紀末，產(chǎn)生了一門新的數(shù)學(xué)分支——分形幾何學(xué)。[10，11]分數(shù)維空間的引入，是幾何學(xué)的一個突破，很快引起了數(shù)學(xué)家和自然科學(xué)工作者的關(guān)注，成為21世紀新的數(shù)學(xué)熱點。如果沒有分形幾何，也許就很難知道手上的經(jīng)脈，或是掉落在路邊的樹葉，或是農(nóng)家屋頂繚繞的炊煙，或是曲折紊亂的海岸線，原來是如此美麗，具有讓人嘆為觀止的神奇的幾何結(jié)構(gòu)。分形幾何學(xué)的誕生不僅使得數(shù)學(xué)對幾何學(xué)的研究更加深入，而且使人類對自然有了全新的認識。更有趣的是，分形幾何學(xué)的出現(xiàn)還制造出了大量很有價值的藝術(shù)品呢。

六、結(jié)語

在電腦的幫助下，人們可以輕松地走進分形幾何的大門。這座具有無窮層次結(jié)構(gòu)的宏偉建筑，每一個角落里都存在無限嵌套的迷宮和回廊。老師如用多媒體設(shè)備向?qū)W生們展示美輪美奐的分形圖形，很多學(xué)生都會驚嘆不已，印象深刻。

愛因斯坦說：“我認為，對一切來說，只有熱愛才是最好的教師，它遠遠超過責(zé)任感。”A.M說：“高興學(xué)來的東西永不會忘。”美國心理學(xué)家和教育家布盧姆說：“學(xué)習(xí)的最大動力，是對學(xué)習(xí)材料的興趣。”諾貝爾物理學(xué)得獎?wù)邨钫駥幉┦空f：“成功的秘訣在于興趣。”從這些名人的經(jīng)典話語中可以看出興趣的重要性，而前面所介紹的數(shù)學(xué)美教育的融入，就是以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣為主要目的，必能提高教學(xué)效果。

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