初中數學《最短距離問題》教學設計

課題分析

（1）最短距離問題是初中數學的重要內容之一，也是中考命題的重點之一。學生已有兩點之間線段最短的基本知識，故本課應對從直觀認識的基礎上，著重在不同背景的實際問題中應用，從而滲透化歸的數學思想方法。

（2）通過本節的學習，類比、構造、化歸轉化等數學思想方法的滲透，使學生體會到數學中的美學意義，不斷提高學習數學的興趣，樹立學好數學的信心。本課對學生的動手能力，觀察能力都有一定的要求，對培養學生靈活的思維，提高學生解決實際問題的能力都有重要的意義。

學情分析

（1）知識基礎：學生了解兩點之間線段最短等基本知識點，但此后的學習很少涉及此內容，所以學生對此內容的應用較為陌生，所以學生通過本課的學習，須掌握能在不同背景的實際問題中應用。

（2）能力基礎：學生的作圖能力還是讀圖能力，添加適當的輔助線、創造適合的條件去在不同背景的實際問題中應用的能力比較薄弱的，這些能力都必須得到加強。

（3）心理基礎：因為陌生而害怕，學生在這部分的學習上存在心理的障礙，這不利于學習，故要在題目的設置上讓學生更容易得到成就感，才會讓學生敢于動手，達到學好的信心，要充分調動學生的積極性。

教學目標

知識目標：掌握兩點之間線段最短問題，能在不同背景的實際問題中應用。

技能目標：學習過平移、軸對稱、旋轉三種圖形變換，利用圖形變換能解決一些最短距離問題。

情感目標：引導學生對圖形觀察，發現，激發學生的好奇心和求知欲，并在運用數學知識解答問題的活動中獲取成功的體驗，建立學習的自信心.體會數學的對稱美，體驗化歸的思想方法，培養合作精神。

重點難點

重點：1.掌握兩點之間線段最短問題，能在不同背景的實際問題中應用

2.利用圖形變換能解決一些最短距離問題

難點：1.掌握兩點之間線段最短問題，能在不同背景的實際問題中應用

2.體驗化歸的數學思想方法

教學手段

1.運用多媒體輔助教學

2.運用合作學習的方式，分組學習和討論

3.調動學生動手操作，幫助理解

準備工作

1.幾何畫板課件，輔助難點突破

2.學生自帶剪刀，圓規，直尺等工具

教學設計策略

依據教學目標和學生的特點，依據教學時間和效率的要求，在此課教學方法和教學模式的設計中我主要體現了以下的設計思想和策略：本著“以學生發展為本”的教育理念，同時也為了使學生都能積極地參與到課堂教學中，發揮學生的主觀能動性，本節課主要采用了引導發現、講練結合的教學方法，按照“實踐——認識——實踐”的認知規律設計，以增加學生參與教學過程的機會和體驗獲取知識過程的時間，從而有效地調動了學生學習數學的積極性。

教學步驟及說明

<一>、創設情境1，引發興趣：

【教師】：同學們，現在老師這兒有一問題，你能為我分憂嗎？

問題1：（1）要在街道旁修建一個奶站，向居民區A、B提供牛奶（如圖1），居民區A、B在街道的兩側奶站應建在什么地方，才能使它到A、B距離之和最短？

【學生】齊讀題目后，爭先恐后地說出方法。

【說明】這樣設計，能馬上激發學生的學習興趣和求知欲，為后面發現結論創造一個最佳的心理狀態。

<二>創設情境2，培養探索。

【教師】你們一定感到問題簡單，下面的問題你會回答嗎？

（2）如果居民區A、B在街道的同側（如圖2），奶站應建在什么地方，才能使它到A、B距離之和最短？

（注：找一名學生板演，其余學生在位上做）

【學生】都在積極解答，尋找其中的奧秘。

【說明】這樣設計，使學生親身感知兩點之間線段最短的簡單應用，培養了學生的探索精神，變“老師教”為“自己鉆”，從而發揮了學生的主觀能動性。

<三>啟發引導，攻克難點：

【教師】請同學們再看第三個問題：（3）小聰根據實際情況，以街道旁為x軸，建立了如圖3所示的平面直角坐標系，測得A點的坐標為（0，1），B點的坐標為（3，3），則從A、B兩點到奶站距離之和的最小值是

你認為又該如何做呢？

【學生】自由討論

【教師】點撥：最短距離問題“兩點之間線段最短”

【學生】由于前面作了鋪墊，所以學生很快可以答出結論。

【說明】：這樣設計（1）為了讓學生明白對稱所起的重要作用，從而很自然地應用兩點之間線段最短去解。（2）為了培養學生從具體到抽象的觀察、分析與概括能力并使學生從感性認識上升到理性認識，真正體驗自己發現結論的成功樂趣。

<四>引導學生，基礎演練：

【教師】如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，點E在BC上，且BE=2，點P在BD上，則PE+PC的最小值為。

分析：運用圖形的“對稱性”找點P，再計算。

【學生】帶著老師提出的問題，結合前面的知識會很認真地去解，尋找答案。

【說明】這樣設計是為了培養學生思維的嚴謹性，養成應用數學的能力。

<五>層層加深，注重轉化：

【教師】問題2：要在兩條街道a和b上各設立一個郵筒，M處是郵局，問郵筒設在哪里才能使郵遞員從郵局出發，到兩個郵筒取完信再回到郵局的路程最短？

【說明】這樣設計是為了培養學生學會如何將感性認識上升到理性認識，以及加深學生對轉化運用做好鋪墊。

<六>數形結合，基礎演練：

在直角坐標系中有四個點A（-6，3），B（-2，5），C（0，m），D（n，0），當四邊形ABCD的周長最短時，則m+n=。

<七>挑戰自我，能力提升：

要在一條河上修一座垂直于河岸的橋，河岸兩旁有A、B兩村，要使從A到B的距離最短，橋應該修在那個位置。

能力提升：如圖，當四邊形PABN的周長最小時，a=？ 解題小結：“平移”轉化的思想。

【說明】這樣設計是為了培養學生學會如何將感性認識上升到理性認識，以及加深學生對轉化運用做好鋪墊。

<八>直擊中考，綜合應用：

例題：（2009年衢州市）如圖，已知點A（-4，8）和點B（2，n）在拋物線上.

（1）求a的值及點B關于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標；

（2）平移拋物線，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，點C（-2，0）和點D（-4，0）是x軸上的兩個定點.

①當拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′最短，求此時拋物線的函數解析式；

②當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數解析式；若不存在，請說明理由.

【點撥】第（2）問，是“飲馬問題”的變式運用，涉及到拋物線左移。答案見參考圖。

①方法一，A′關于x軸對稱點A〞使A′C+CB′最短，點C應在直線A〞B′上；

方法二，由（1）知，此時事實上，點Q移到點C位置，求CQ=14/5，即拋物線左移14/5單位；

②設拋物線左移b個單位，則A'（-4-b，8）、B'（2-b，2）。∵CD=2，∴B'左移2個單位得到B″（-b，2）位置，要使A′D+CB'最短，只要A′D+DB″最短。則只有點D在直線A″B″上。

【說明】以上例題的設計，主要是為了培養學生分析問題，解決問題的能力，同時進行一題多解訓練，以達到學以致用的目的。

【說明】這樣設計主要是為了給學生創造一個知識運用遷移及鞏固的機會，同時也為了吸引和調動全班同學參與到積極動腦，各抒己見的活躍氣氛中來，并培養學生分析問題，解決問題的能力

<九>歸納小結，回味課題：

1.在求最短路線時，我們采用的的方法是什么？

2.本課你有何收獲與困惑？

【說明】這樣設計是為了使學生系統地了解和掌握本節課的內容，同時從同學間汲取方法與知識。

課后反思：

本課的教學是運用“探究性學習方式”的教學. “誘”是“思”的出發點，“思”是“誘”的歸宿。本課的主線應是誘導學生獨立思考，并不斷把“思”引向深入。本節課首先通過問題1鞏固知識點，設計由易到難，難度逐層加深的引題2與3，使學生學會用兩點之間線段最短問題，能在不同背景的實際問題中應用能力。其中以學生做、練為主，體現學生的主體地位。而學生通過一題多解、多題一解等途徑，加深對數學思想方法的理解，在問題條件的不斷變換中拓寬思路；歸納升華例題的結論、類比推廣同類數學問題的解題方法，把“思”引向更高的境界.以認知過程中的“三個層次要素”作為學生學習活動的主線，又靈活運用了“三個貫穿要素”：設置學習情境，誘導學生在行為上全身心投入認知過程，既滿懷激情又實現了“互動”，不斷引導學生由感性認識到理性認識，再到遷移應用的能力，體現了教學的規律性和藝術性。較好完成任務，學生能基本掌握其方法，特別是例題1較好達到如期效果，而在例題中，學生對如何尋找點，這一難點能較好突破，但學生作圖的基本功不夠，虛線、實線的應用較混亂。整節課上，學生的思維活躍，實現“思”是“誘”的歸宿。

在教學媒體的設計上，本節課利用幾何畫板軟件制作多媒體課件，并使用實物投影儀、三角板、若干直線型實物等輔助教學。幾何畫板課件可以隨時隨地按學生的回答添加輔助線，色彩更鮮明、清晰，避免課堂完全成為老師思維過程的再現，有利于發揮學生的能動性、創造性，培養學生良好的思維品質，同時對學生產生成功感、自豪感都極為有利。

不足之處：學生未能完成課堂練習，在總結所學的知識點時，沒有給學生更多的討論時間，還有部分學生不能準確提煉出方法。