對逆矩陣求法的探究

摘 要：并不是所有矩陣都有逆矩陣，只有當一個矩陣滿足一定的條件，作為可逆矩陣時，才能求其逆矩陣.為了能夠更好的求逆矩陣，本文歸納了求逆矩陣的方法，如定義法，利用分塊矩陣求逆矩陣，利用伴隨矩陣求逆矩陣等.針對不同的矩陣，尋求不同的方法，以便更方便的求解逆矩陣.

關鍵詞：逆矩陣；分塊矩陣；伴隨矩陣；初等矩陣；矩陣多項式

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）16-225-01

矩陣在高等代數理論中及其重要并且應用廣泛，它是線性代數的核心，而矩陣求逆在矩陣中作為基礎工具，其解法也非常重要.本文對矩陣的求法作進一步總結.我們學的教材中有兩種方法，第一種要用到初等變換，第二種求逆矩陣的方法是從行列式的性質得來的，除了此兩種方法之外，還有其他的求逆矩陣的方法.

一、可逆矩陣的定義

定義1.1 【令 是數域 上的 階矩陣.若是存在 上 階矩陣 ，使得 ，那么 叫做一個可逆矩陣（或非奇異矩陣），而 就稱為 的逆矩陣記為 .】（1）

二、逆矩陣的主要求法

2.1 利用矩陣可逆的定義求逆矩陣

設 是一數域， 對于 ，如果存在 ， 使得 ， 則 可逆， 且 .

因為 可逆，所以.

2.2 利用伴隨矩陣求逆矩陣

命題2.2.1 設 ，若 ，那么.

例2.2.1 設 求 的逆矩陣

2.3 利用分塊矩陣求逆矩陣

定義2.3.1一般的說，設 是一個 矩陣， 是一個 矩陣.把 和 如下的分塊，使 的列的分法和 的行的分法一致.

那么就有

其中， 這就是分塊矩陣的乘法.

2.3.2準三角形矩陣求逆

初等變換還包括初等列變換，如果采用初等， 方法與初等行變換類似， 設 階矩陣 可逆， 則 可以通過一系列初等列變換化為單位矩陣 ， 構造一個 階矩陣，對 施以同樣的初等列變換， 當 化為單位矩陣 時， 就化為 .

顯然， 初等列變換求可逆矩陣的逆與初等行變換求可逆矩陣的逆實質上是一樣的， 其方法也類似，所以我們重點介紹初等行變換的求法.

命題2.4.2 如果用有限次第三種行、列的初等變換可以將可逆矩陣 化為對角型矩陣 ，且用相應的初等變換將單位矩陣 化成 ，那么

總的來說，求解可逆矩陣的逆矩陣的方法為：

方法一：定義法，

方法二：伴隨矩陣法

方法三：分塊矩陣法，

方法四：初等變換法，

可以說每一種方法都有其它獨特的解題角度和簡便的解題技巧， 為解決不同類型的逆矩陣求解問題提供了更多的解題工具， 當然還有其他的求逆矩陣方法，我們要根據不同形式，不同特點的逆矩陣用選擇不同的方法.

參考文獻：

[1] 張禾瑞，郝鈵新：高等代數，高等教育出版社，第四版.

[2] 杜漢玲：求逆矩陣的方法與解析，高等函授學報（自然科學 版），第17卷第4期.

[3] 刁光成，張曉彥：關于求逆矩陣方法的進一步探究，牡丹江教育學院學報，2010年第2期.