對“方程 與方程 的根之和”的再認識

摘要：對《數學通報》2007年第11期刊登的“方程 與方程 的兩根之和一定為P嗎”的再認識后得到了兩個方程的根相關的定理。

關鍵詞：起因；再思；再探索

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）16-281-01

拜讀了《數學通報》2007年第11期刊登的“方程

與方程 的兩根之和一定為P嗎”后，本人對此問題繼續著文[1]作者的思路，又進行了再思考、再認識，得到了一些新的想法，現和大家分享。

1、 問題的起因

文[1]從方程 和方程 的兩根之和為這入手，猜想并論證了：

（1）若函數在R上是增函數，則方程 與方程 的根之和一定為定值p。

（2）若函數在R上是減函數，則方程 與方程 的根之和不一定為定值。

從文[1]的論述來看，有理有據。但我的第一感覺覺得好像對這個問題的分析有點意猶未盡。本人自問：“求方程

與方程 的兩根之和”這個問題的本質在哪？

2、對問題的再思考

對上述問題的理解，若從函數圖像的對稱性去理解，那將是另一番豐收的景象。

定理1、若方程 有且只有n個實根，分別記為 ，且 有意義，則（1）方程

必有且只有n個實根；

（2）設方程 N個實根分別為 ，

則有（ ）+（ ）=np。

證明：（1）1若設 為方程 的一個實根，則有 ，即點M（ ）在函數y=f（x）的圖像上，又 有意義且函數y=f（x）的圖像和其反函數 的圖像關于直線y=x對稱，故點M（ ）關于直線y=x的對稱點M1（ ）在函數 的圖像上，有 ，即 ，故 是方程 的一個根。

2從前面1的論證不難理解，若 為方程 的一個實根，那 則一定是方程 的一個實根。故由12可知方程 必有且只有N個實根。

（2）由（1）的論證過程可知，若 為方程 的N個根，則 是方程 的有且只有的N個根，不妨設

，則（ ）+（ ）=（ ）+ =np

若有了此結論，則文[1]中的反例也是成立的。

3、 對問題的再探索

本人認為此類問題的本質是想揭示曲線和曲線關于直線對稱的實質。為此本人又對此

題進行了再探索。

定理2、若曲線C1：f（x，y）=0和曲線C2：f（x，y）=0關于直線L1：ax+by+c=0對稱，且

直線L2：bx-ay+t=0（和直線L1垂直的任一直線）和曲線C1：f（x，y）=0有且只有N個交點， 則

（1） 直線 L2：bx-ay+t=0和曲線C2：f（x，y）=0必有且只有N個交點；

（2）設直線L2和曲線C1的交點為

直線L2和曲線C2的交點為 則必有

參考文獻：

[1]龍世枚. 方程 與方程 的兩根之和一定為P嗎.數學通報，2007.11.