論實變函數第一堂課的相關問題及作用

唐古生

(湖南科技大學數學系，湖南湘潭411201)

由于實變函數的高度抽象和概括，使得這門課程在學生心目中有一種先入為主的恐懼心理，因而在第一堂課上不能急于進行正式內容的教學活動，而應著重介紹實變函數論課程的內容框架、發展歷史、以及要達到的目的，闡述該課程的基本特點。實變函數論是在集合論與Rieman積分的基礎上產生和發展起來的，許多性質、概念、定義與數學分析有著相似之處，但在很多方面有著質的飛躍。對于實變函數的學習，第一堂課中回顧數學分析中Rieman積分的缺陷，找出Rieman積分的缺陷的根源，從而分析對癥下藥的方法，指出拓展Rieman積分所需的理論準備，展望Lebesgue積分的優越性會激發學生對實變函數的學習興趣。

1 分析數學分析中Rieman積分的缺陷

實變函數的核心是推廣Rieman積分建立Lebsgue積分，因而作為教師應清楚數學分析中Riemann積分的概念，應善于從概念中分析引導起缺陷。

設f(x)定義于區間［a，b］上的有界實值函數。在區間［a，b］上作分劃

對每個i，令

從而f(x)在［a，b］上Rieman可積的充要條件是:

這樣為保證 f(x)在［a，b］上可積，f(x)在［a，b］上的不連續點不能太多。正因Riemann積分對被積函數的連續性要求太強，這個定義及由此產生的有關積分理論存在一系列缺陷:

(1)黎曼意義下可積的函數類范圍太小。典型的不R可積的例子如:

例題1):Dirichlet函數:

這樣的簡單函數卻不是R(常義)可積的。

(2)R積分與極限可交換順序的條件太苛刻。在數學分析中，交換函數列極限與積分的順序，需要函數列一致收斂的條件來保證，而能夠達到一致收斂條件的函數列并不多，并且一致的條件也難以驗證。

(3)積分運算不完全是微分運算的逆運算。由微積分基本定理，我們知道可微函數的導數再積分能夠得到原函數，但是已證明一個可微的函數求導以后可以不是Riemann 可積的［1］。

(4)數學分析中，R可積的充要條件沒有用函數本身的性質來刻畫，而用函數自身性質刻畫的可積的充分條件又過于苛刻。

以上幾點表明，Riemann積分有不少缺陷，限制了Riemann積分的應用，因此有必要加以改進。20世紀初，法國數學家Lebesgue(1875－1941)創建了一種新的積分理論，稱之為Lebesgue積分，Lebesgue積分理論是Riemann積分理論的推廣和發展。并且克服了Riemann積分的上述缺陷［2］。

2 分析改進Rieman積分的思路

如何改造積分定義來達到拓廣積分范圍的目的呢?讓我們先分析一下造成這一缺陷的根本原因。由數學分析知:對任意分劃

T:a=x0＜x1＜…＜xn=b

對于例題1)由正長度的區間內既有有理數又有無理數，所以恒有:

S(T，D)－s(T，D)=1－0=1

如果分劃不是這樣刻板地要求一定要從左到右分成區間的話，是有可能滿足大小和之差任意小的。比如，只要允許將有理數分在一起，將無理數分在一起，那么大小和之差就等于零了。這就是問題的著眼點，首先讓分化概念更加廣泛，更加靈活，從而可將函數值接近的分在一起以保證大小和之差任意小［1］。

對于例題2)，將區間［0，1］等分成n等份，取 ξ1=，則

導致如此的原因，是在一個微小的區間內，函數值的變化太大。

3 引導學生感知數學新理論體系建立的奧妙

通過這一部分的分析，使學生感受到數學建立一套新的理論體系，需要環環相扣的理論準備。理論的嚴謹性是數學的妙趣之所在。

設f(x)為［a，b］上的有界實值函數。前面已經提到，為使f(x)在［a，b］上Riemann可積，必須使Mi－mi比較大的那些小區間的長度之和很小，或者應使函數是在一個微小的區間內，函數值的變化不太大。這樣那些在很多地方振幅很大的函數或在微小范圍內變化很大的就不可積了。為了使得更多連續性不好，函數值在微小范圍內函數值變化很大的函數也可積，法國數學家Lebesgue提出了一種新的積分思想，主要想法就是不從分割區間［a，b］著手，而是從分割函數的值域出發［3］。為簡單計，這里只考慮f(x)≥0的情況。設f(x)定義于區間E=［a，b］上，m ＜ f(x)＜ M。在區間［m，M］作分劃

記

(如果極限存在)。這樣定義積分的好處在于，函數值的變化不大的自變量x已置于一個集合E［yi－1≤f＜yi］之中。在該集合中，f(x)的振幅小于λ，因此很多連續性不好的函數(例如Dirichlet函數)或在微小范圍內函數值變化很大的函數對于上述和式極限不存在的缺陷就有可能克服，從而讓更多函數納入可積范疇。但是按照Lebesgue的方式定義積分首先要掃除一個障礙，就是必須使可以量長度。但是一般情況下不是區間，甚至也不是有限個不相交區間的并。為此必須將普通長度公理加以推廣，使直線上比區間更一般的盡可能多的集，有一種類似于區間長度的度量。這導致了Lebesgue測度理論的建立。由于測度理論要經常地遇到集的運算和歐氏空間上的各種點集，因此本課程首先要介紹集合論和歐氏空間上集論的知識。因此本課程首先要介紹集合論和歐氏空間上點集的知識，然后介紹測度理論［4］。由于Lebesgue測度理論并不能給直線上的每個集定義測度，只能對一部分集即所謂“可測集”給出測度，因此要定義f(x)的Lebesgue積分，必須要求由 f(x)產生的型如的集是可測集，這樣的函數稱為可測函數，只有對可測函數才能定義新的積分。因此在定義Lebesgue積分之前，需要討論可測函數的性質。作了這些準備后，就可以定義Lebesgue積分并討論Lebesgue積分的性質及其應用。

4 激發學生強烈的求知欲望

在測度理論的基礎上建立的Lebesgue積分理論到底有何優越性?由于學生學識所限，不必過于講的詳細與深奧，我們只需給出以下幾點，足可讓學生感到驚奇，激發學生的強烈求知欲望。

(1)得到了用函數本身性質刻畫Riemann可積的充要條件，函數Riemann可積的充要條件是不連續的點所構成的集合是一個零測集。

(2)極限與積分交換要求相對沒有這么強，Riemann積分要求一致收斂，而Lebesgue積分只要有一個控制收斂定理保證。

(3)得到的Fubni定理，可以使得累次積分交換積分次序可以在非常寬松的條件下實現。

(4)函數作為一個距離空間的完備性，Riemann可積類的函數序列極限可能不是Riemann可積的，也就是基本點列的極限不在其中，而Lebesgue可積類構成的函數空間(當然其中的點應該換成為是幾乎處處相等的函數類)是完備的距離空間［5］。

由此看出，法國數學家Lebesgue在測度基礎上建立的Lebesgue積分，彌補了R積分的諸多不足。實變函數論一方面可以為以后的數學學習和數學思維能力的培養奠定堅實的理論基礎，另一方面可以再返回去溫習數學分析Rieman積分、重積分、級數收斂的基本理論，加強自身數學分析的理論功底［6］。通過以上分析與介紹，學生們會盡管覺得艱難與深奧，但在看到Lebesgue積分能如此極大的推進Riemann積分理論與克服Riemann積分的缺陷時，會極大增強他們的求知欲望，使他們覺得有勇氣也有憧憬深入研究與學習這一門課程。

［1］程其襄，張奠宙，魏國強.實變函數與泛函分析基礎［M］.北京:高等教育出版社，2010.

［2］王軍濤，宋林森.Riemann積分與Lebesgue積分的比較［J］.河南科技學院學報(自然科學版)2008，36(4):120－122.

［3］陳 志.《實變函數》概念教學的探討［J］.寧夏大學學報(自然科學版)，1990，11(4):69－73.

［4］江澤堅，吳智泉.實變函數論(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［5］江 楓.Riemann可積函數與連續函數［J］.寧德師專學報(自然科學版)，2010，22(3):288－290.

［6］倪仁興.淺議實變函數與數學分析間的聯系［J］.紹興文理學院學報，2001，21(3):93－97.