關(guān)注學(xué)習(xí)過(guò)程 培養(yǎng)運(yùn)算能力

王羽

一、學(xué)生學(xué)情分析

該階段學(xué)生在知識(shí)上的準(zhǔn)備有：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、約分、通分、分?jǐn)?shù)小數(shù)互化、分?jǐn)?shù)比大小的方法、同分母分?jǐn)?shù)加減法等相關(guān)知識(shí)，這些為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了必要的知識(shí)支撐和方法基礎(chǔ)。而這些知識(shí)和技能掌握的熟練程度直接關(guān)系到學(xué)生對(duì)異分母分?jǐn)?shù)加減法的探索與發(fā)現(xiàn)。在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生有提前預(yù)習(xí)的習(xí)慣，還有部分學(xué)生早已從大人的口中獲得異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法，但他們往往過(guò)多地關(guān)注對(duì)計(jì)算方法的掌握，而忽略了對(duì)知識(shí)本質(zhì)的探索和算理的理解。所以，對(duì)本節(jié)課而言，教師應(yīng)更多地引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn)異分母分?jǐn)?shù)加減法的本質(zhì)，即只有分?jǐn)?shù)單位相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)才能直接相加減，異分母分?jǐn)?shù)加減要轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)加減，即把分?jǐn)?shù)單位不同的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)單位相同的分?jǐn)?shù)。

二、教學(xué)建議

1. 處理好算理直觀與算法抽象的關(guān)系。

算理就是計(jì)算過(guò)程中的道理，是解決為什么這樣算的問(wèn)題。而算法可以理解為計(jì)算的方法和步驟，是解決怎樣算的問(wèn)題。計(jì)算教學(xué)既需要讓學(xué)生在直觀中理解算理，也要讓學(xué)生掌握抽象的計(jì)算方法，要讓學(xué)生充分體驗(yàn)由直觀算理到抽象算法的過(guò)渡和演變過(guò)程。讓算理為算法提供指導(dǎo)，用算法使算理可操作化，從而達(dá)到對(duì)算理的深層理解和對(duì)算法的切實(shí)把握。

（1）數(shù)形結(jié)合理解算理。

在異分母分?jǐn)?shù)加減法的過(guò)程中，可能會(huì)有學(xué)生產(chǎn)生將分子分母直接相加減的錯(cuò)誤，如+===，這是因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)整數(shù)加減法時(shí)沒(méi)有很好地理解算理，受到“相同數(shù)位上的數(shù)相加減”的心理暗示而產(chǎn)生的負(fù)遷移。

如下圖所示，教材十分重視借助直觀的演示理解算理。從左圖看，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)單位不同，所以異分母分?jǐn)?shù)不能直接相加；從右圖看，兩個(gè)扇形轉(zhuǎn)化成由若干個(gè)大小相同的小扇形組成的圖形（其實(shí)是分?jǐn)?shù)單位統(tǒng)一了），就可以相加了。

因此，在呈現(xiàn)例題后，教師可以讓學(xué)生自主嘗試，列出不同的計(jì)算方法，教師可讓學(xué)生自己展開(kāi)爭(zhēng)論，誰(shuí)對(duì)誰(shuí)錯(cuò)？并通過(guò)動(dòng)手折紙、畫(huà)示意圖等具體的操作方式來(lái)探究，思考為什么分子分母直接相加減的算法是錯(cuò)誤的；也可先結(jié)合小數(shù)計(jì)算的結(jié)果來(lái)驗(yàn)證不同算法的正誤，再通過(guò)具體的操作或教師課件演示明確異分母分?jǐn)?shù)加減法要先通分再加減的道理。

（2）從算理到算法的逐步過(guò)渡。

在學(xué)生初步理解算理后，不要急于進(jìn)行抽象的算法演練，可以讓學(xué)生繼續(xù)通過(guò)操作和看圖，直觀地進(jìn)行計(jì)算，或通過(guò)觀察特殊分?jǐn)?shù)加法圖示等手段，讓學(xué)生深入理解異分母分?jǐn)?shù)加、減法的算理，如用算式表達(dá)下面圖形的面積：

（？搖？搖？搖？搖？搖？搖）+（？搖？搖？搖？搖？搖？搖）=（？搖？搖？搖？搖？搖？搖）？搖 ？搖？搖（？搖？搖？搖？搖？搖？搖）+（？搖？搖？搖？搖？搖？搖）=（？搖？搖？搖？搖？搖？搖）

在學(xué)生理解異分母分?jǐn)?shù)加減法算理后可逐步脫離形象，幫助其形成抽象的算法，教師可讓學(xué)生結(jié)合例題的兩道加減法算式和課堂練習(xí)說(shuō)一說(shuō)異分母分?jǐn)?shù)加減法是怎樣計(jì)算的？引導(dǎo)學(xué)生歸納概括出異分母分?jǐn)?shù)加減法的一般方法（即先通分再按同分母分?jǐn)?shù)加減法的方法計(jì)算）

2. 處理好算法多樣化與算法優(yōu)化的關(guān)系。

“算法多樣化”是數(shù)學(xué)新課程中的一個(gè)重要理念。強(qiáng)調(diào)尊重學(xué)生的獨(dú)立思考，鼓勵(lì)學(xué)生探索不同的方法。而優(yōu)選算法的過(guò)程是學(xué)生進(jìn)行多種算法的理解、比較與選擇的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生可能放棄自己的算法而學(xué)習(xí)、吸納別人研究出來(lái)的算法，從而對(duì)自己的認(rèn)識(shí)進(jìn)行修正或完善。所以算法優(yōu)化的過(guò)程是學(xué)生認(rèn)知水平提高的過(guò)程。

以異分母分?jǐn)?shù)加減法為載體，本課針對(duì)“+”這個(gè)算式，教師拋出一句“你能用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決嗎”啟發(fā)學(xué)生想辦法要把它變成學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決。學(xué)生在經(jīng)歷獨(dú)立思考、合作交流后可能得到以下四種算法：

①+=0？郾25+0？郾3=0？郾55（化成小數(shù)計(jì)算），②+===（分子分母直接相加），③+=+==（通分，公分母不是最小公倍數(shù)），④+=+=（通分，以分母的最小公倍數(shù)為分母）。

在學(xué)生得出四種算法后，教師可引導(dǎo)學(xué)生集體評(píng)價(jià)，驗(yàn)證結(jié)論是否正確并說(shuō)出理由。首先引導(dǎo)學(xué)生辨析正誤，將結(jié)果與其中的加數(shù)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)小于，“和”比“加數(shù)”小顯然不對(duì)，可將②這種算法排除。對(duì)比①、③、④三種方法，都是將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)或者同分母分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的滲透和運(yùn)用。通過(guò)舉例，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到第①種方法可行但是有局限性，如+化成小數(shù)計(jì)算不方便也不準(zhǔn)確。因此，這種方法適合在特殊情況下使用，并不具有普遍意義。而③、④兩種方法都是轉(zhuǎn)化成分母相同的分?jǐn)?shù)計(jì)算，所不同的是——公分母是最小公倍數(shù)或是兩數(shù)的乘積。通過(guò)比較，發(fā)現(xiàn)以最小公倍數(shù)作為公分母比較簡(jiǎn)潔。其次通過(guò)舉例明晰適用性，得出①可行但是有局限性；第三，聚焦③、④方法具有一般性，最后，比較優(yōu)化，得到公分母是最小公倍數(shù)的算法更簡(jiǎn)潔。

3. 以數(shù)學(xué)思想統(tǒng)領(lǐng)加減法之間的關(guān)系。

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想。比如在掌握算法的過(guò)程中將“異分母分?jǐn)?shù)加法”轉(zhuǎn)化成“同分母分?jǐn)?shù)加法”體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想；在理解算理的過(guò)程中蘊(yùn)藏有“數(shù)形結(jié)合思想”。在本體知識(shí)的把握上有“模型思想”，體現(xiàn)為加法模型。下面以模型思想為例談筆者這節(jié)課的理解。

在教材提供的例題中，學(xué)生可以根據(jù)情境中的數(shù)據(jù)，提出不同的計(jì)算問(wèn)題，其中加法問(wèn)題有：（1）紙張和食品殘?jiān)舱忌罾膸追种畮祝浚?）（2）廢金屬和紙張共占生活垃圾的幾分之幾？（+）（3）紙張和危險(xiǎn)垃圾一共占生活垃圾的幾分之幾？（+）（4）廢金屬和危險(xiǎn)垃圾共占生活垃圾的幾分之幾？（+）……

教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察上述問(wèn)題，思考它們的共同點(diǎn)（為什么它們都用加法運(yùn)算），通過(guò)比較，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些問(wèn)題都是把兩個(gè)部分合并成一個(gè)整體，符合加法的意義：“將兩個(gè)（或幾個(gè)）數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算”，這與之前學(xué)過(guò)的整數(shù)減法和小數(shù)加減法的意義完全一致，從而去掉現(xiàn)實(shí)情境，抽象出數(shù)學(xué)模型，對(duì)小學(xué)階段整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加法意義形成整體認(rèn)識(shí)。

小學(xué)階段加減法的編排按照循序漸進(jìn)，螺旋式上升的原則進(jìn)行。在第一學(xué)段，“20以內(nèi)的加減法”是整數(shù)計(jì)算教學(xué)的核心。計(jì)算時(shí)強(qiáng)調(diào)末位對(duì)齊，體現(xiàn)為相同計(jì)數(shù)單位“個(gè)數(shù)”進(jìn)行“加”或“減”；而在第二學(xué)段的小數(shù)加減法中則強(qiáng)調(diào)小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，二者可歸納為相同數(shù)位對(duì)齊。在同分母分?jǐn)?shù)加減法中，“分母不變，只把分子相加減”和異分母加減法中“先通分，后加減”同樣是為了實(shí)現(xiàn)相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相加減。因此，對(duì)于加法模型來(lái)說(shuō)，加數(shù)發(fā)生了改變，而兩個(gè)數(shù)相加的基本條件“計(jì)數(shù)單位要相同”的道理不變。就整體知識(shí)的聯(lián)系來(lái)說(shuō)，滲透了“變中不變的思想”。

因此，教師可安排一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生比較整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)過(guò)的整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法算理的本質(zhì)是相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)才能直接相加減。

（作者單位：福建省福州市井大小學(xué)）