運用幾何直觀 成就精彩課堂

黃麗紅

一、借助幾何直觀，明晰領悟數理

數學教學不僅要讓學生“知其然”，更要讓學生“知其所以然”。現行教材中的知識結論往往只有高度濃縮的一句話，看似簡單，實則內涵深刻。可由于教師個體數學知識素養的欠缺或教學思路不夠開闊，無法引導學生深刻挖掘簡單知識中隱含的“所以然”，學生不明知識中的道理，導致生搬硬套書中的結論。就如教學“3的倍數的特征”時，教師一般的教學流程是——先復習2和5的倍數特征，只要看個位就可判斷是否為2和5的倍數；然后列舉一些3的倍數，發現不能從個位進行判斷，從而猜想、驗證與各個數位上的數的和有關；最后得出結論，記憶并應用結論。山東省陳興遠老師在教學此內容時，在教學目標的設計上增加了“初步了解蘊含于2、5、3的倍數特征中的道理”環節。

陳老師借助“百數表”和“擺棋子”讓學生通過猜想、驗證、討論、交流等活動經歷了探究3的倍數特征的過程。得出結論后，教師還激勵學生質疑。學生提出“為什么2和5的倍數只看個位就行了，而3的倍數只看個位不行，還要把各個數位上的數相加？”面對學生提問，陳老師引導學生借助小棒直觀圖深刻剖析了蘊含于“2、5、3倍數的特征”中的數學道理。教師先呈現“36”的小棒示意圖，借助圖說明為什么判斷其是否為2、5的倍數只要看個位就行（如圖所示）。

接著以“54”為例，借助小棒圖讓學生直觀看到：1個十被3除余一，5個十被3除，共余5個一，再加上個位上的4個一，一共9根小棒，剛好是3的倍數（如圖2所示）。

最后再用“123”這個數的小棒直觀圖（如圖3所示），使學生深刻理解：百位、十位上的數除以3余下的根數和個位的根數相加是6，6是3的倍數，所以“123”是3的倍數。陳老師借助幾何直觀這個“腳手架”，讓學生明晰“3的倍數特征”，使學生深刻領悟“3的倍數特征”隱含的“所以然”。

二、借助幾何直觀，凸顯概念本質

在教學中，我們經常會發現，有的學生背一些概念一字不差，可應用起來漏洞百出。對小學生而言，抽象的概念晦澀難懂，不易理解且容易遺忘。如果能將概念學習與幾何直觀相結合，就能使抽象的概念具體化，枯燥的知識形象化，隱性的知識顯性化。

例如，教學 “因數和倍數”時，由于因數和倍數是數論的開始，比較抽象。在以往的教學中，我們往往忽視幾何直觀的作用，只是讓學生熟記相關概念，導致其在學習這部分知識時覺得枯燥乏味，理解困難，達不到融會貫通的程度，體會不到初等數論的抽象性、嚴密性和邏輯性之美。福建的李麗蓉老師執教“找因數”一課時，巧借幾何直觀，引導學生尋求找因數的方法，形象化解找因數的難點。以下是教學片段。

師：請用12個大小相同的小正方形擺成一個長方形，并用乘法算式表示出擺法。

生1：3×4=12，每行3個，擺4行。

生2：4×3=12，每行4個，擺3行。

（教師展示學生的擺法，如圖4、5所示）

（課件把圖5旋轉，學生直觀發現圖5與圖4完全一樣，明白了12有因數3與4）

師：還有不同的擺法嗎？

生3：2×6=12，6×2=12。

師：說說你的擺法。

生3：2×6=12是每行擺2個，擺6行。6×2=12是每行擺6個，擺2行。

生4：這兩種擺法擺出的長方形形狀、大小是一樣的，只要把豎的那種擺法放平。

（教師根據學生回答，課件出示圖6）

生：1×12=12也可以，直接擺成一行。（教師展示圖7）

師：我們看擺法找因數，一對一對地找出了12的因數有：1，12，2，6，3，4。“千金難買回頭看”，回顧找因數的過程，擺長方形和找因數之間有什么聯系嗎？

……

執教“找因數”一課時，教師們都有這樣的發現——學生都能隨口說出算式，甚至當有的學生說出2？郾4×5=12時，教師往往一語帶過：“因數必須是非0的自然數，所以2？郾4和5不是12的因數。”而李老師要求學生根據長方形的擺法寫出相應的乘法算式，這樣就從只關注思維的單一性轉移到數與形結合的多種策略上來，學生也不會說出類似2？郾4×5=12的算式（因為沒法擺）。利用幾何直觀，學生形象地感受到找一個數的因數與擺長方形之間的關系：擺圖形的過程正好是找因數的過程；擺法的有限決定了因數個數的有限（擺法只有3種，12的因數就只能找出3對）。這樣，將抽象的因數找法，化為具體的圖形擺法，凸顯了因數的本質特征，學生易于理解、印象深刻。教師借助直觀，“借”出了課堂的精彩。

三、借助幾何直觀，展示方法之妙

幾何直觀是具體的，不是虛無的，它與數學的內容緊密相連。很多重要的數學內容，都具有雙重性，既有“數的特征”，也有“形的特征”，可以從數形兩個角度認識它們。運用數形結合，以形助數，把數學問題轉化為直觀、形象的圖形，學生解題思路豁然開朗。

一位教師在教學《分數加法巧算》一課時，展示習題。

+++++=？

學生都利用通分進行計算，雖然數字繁雜，但還是“不辭辛勞”地計算出了結果。教師此時再增加兩個加數和，如果還用通分計算，太難太復雜了，此時多數學生不再埋頭苦干了，都在猜想更簡捷的方法。在學生愁眉不展、欲罷不能之際，教師引導學生利用如下圖形，以形助數，化繁為簡，啟迪學生找到解題方法。

？搖？搖？搖？搖？搖

“一圖抵百語”，探索出以上規律后，問題迎刃而解。如果不借助圖形分析，就連聽課的教師也未必懂得該怎樣計算。數形結合，使復雜的問題形象化、簡單化，學生在觀察、計算中不僅感悟到轉化、極限與建模思想，還深刻體會到數學的簡潔與精妙。

（作者單位：福建省龍巖市普通教育教學研究室？搖？搖？搖責任編輯：王彬）