教學，以學生“起點”為坐標

劉瑾

“平行四邊形的面積”一課在“圖形與幾何”知識體系中占有重要的地位，是在學生已經掌握并能靈活運用長方形面積計算公式和理解平行四邊形特征的基礎上進行學習的，能為學生后面學習三角形、梯形、圓等平面圖形乃至立體圖形的表面積奠定良好的基礎。由此可見，本課的教學尤為重要，但是該如何設計本節課的教學，卻始終困擾著我。于是我對學生進行了一次課前調查：練習紙上有一個長方形和一個平行四邊形，但沒有任何數據，讓學生自己想辦法求出兩個圖形的面積。設計這一調查的目的是暴露學生最原始的學習起點，有助于設計適合學生的教學。調查結果如下表：

表一：求長方形的面積

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表二：求平行四邊形的面積

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經過分析發現，有一大部分學生已經掌握了長方形面積的正確求法，他們會熟練運用公式進行解答；有一小部分學生還不會正確求長方形的面積，他們混淆了長方形周長與面積的知識。有一小半的學生會正確求解平行四邊形的面積，其中有的直接用到了平行四邊形的面積計算公式，有的用到了割補成長方形后再求長方形面積的方法；有一大半的學生還不會求平行四邊形的面積，主要是受到了長方形面積的負遷移影響，胡亂解答。綜上分析，說明學生對平行四邊形已有一定的認知，所以教學中教師可放開手讓學生去探究。于是我根據課前的調查，制定教學目標并進行了教學。

教學片斷一：

師（出示長方形與平行四邊形）：這兩個是什么圖形？這兩個圖形哪個面積大？

生1：是長方形和平行四邊形。

生2：我覺得平行四邊形的面積大一點。

師：你能確定嗎？（學生說不出來）那該怎么辦呢？

生3：將這兩個圖形進行重疊就能比較出來了。（師按照生3的方法將兩個圖形進行重疊，但由于邊緣參差不齊，還是不能確定哪個圖形大一些）

師：如果有數據進行計算，是不是就能夠比較出來了呢？

生：是的。

師（讓學生拿出印有長方形和平行四邊形的作業紙）：請你自己想辦法求出兩個圖形的面積，測量時取整厘米數。（學生自己測量所需的數據，并想辦法求出圖形的面積）

……

分析：因為學生對于平行四邊形面積的計算并不是一無所知，所以放開手讓學生自己去探究，既能激發學生的學習興趣，又能培養學生收集和處理數據的能力。在學生找尋自己所需的數據時，邊測量邊思考，這樣就給了他們思考的空間和學習的平臺。在作業紙上我設計了一個長方形和一個平行四邊形，意在使長方形面積的計算成為學生計算平行四邊形面積的基礎和模型。在計算平行四邊形的面積時，學生可能會想到把平行四邊形變成長方形來解決，但是如何改變、怎么改變才能正確求出平行四邊形的面積，這是學生探究時的難點。

教學片斷二：

師（事先收集學生的一些典型作業）：求長方形的面積時，你測量了哪些數據？

生1：我測量了它的長和寬，分別是6厘米與4厘米，所以它的面積=長×寬=6×4=24（平方厘米）。

師：你們都同意嗎？

生：同意。

師：那為求平行四邊形的面積，你們測量了什么？

生2：我測量了它的兩個底，分別是7厘米和5厘米，所以平行四邊形的面積=長底×短底=7×5=35（平方厘米）。

師：你是怎么想到這種辦法的？

生2：因為長方形的面積是長×寬，所以我就想到了平行四邊形的面積也是兩個相鄰的邊相乘。

師：也就是說，你把平行四邊形看成了一個長7厘米、寬5厘米的長方形來求解，是嗎？

生2：是的。（師將生2的思考過程通過教具擺出來，如下）

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師：你是這樣想的嗎？還有哪些同學也是這樣想的？（有大約一半的學生舉手）還有不同想法嗎？

生3：我測量了它的底是7厘米，高是3厘米，所以它的面積=底×高=7×3=21（平方厘米）。

師：你是怎么想到這種方法的？

生3：因為我發現平行四邊形的右邊缺了一塊，我就把左邊多出的一塊移到右邊，拼成了一個長方形，所以我就用求長方形面積的方法來解決了。（師展示生3的思考過程，如下）

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師：到底誰求平行四邊形面積的方法是對的呢？有沒有更直接一點的辦法來證明誰是對的？

師：如果我們把平行四邊形放到格子圖里，你會數嗎？（讓學生拿出準備好的格子圖，獨立數出平行四邊形中的方格數）你是怎么數的？面積是多少？

生4：我是一格一格數的，有的地方不是一格，就和別的拼成一格，面積是21平方厘米。

師：有沒有更好的辦法？

生5：我把左邊多出的三角形搬到了右邊（課件演示，如右圖），這樣就都變成整格了，一排有7格，有這樣的3排，就是21平方厘米。

師：你們看明白了嗎？

……

分析：在這個探究過程中，學生兩種不同的解題思維都受到了長方形面積求解方法的影響：一是從外在的形上去考慮，所以把平行四邊形拉成了長方形；二是從內在的面積去考慮，所以把平行四邊形剪拼成了長方形，這也是這節課探究學習的價值所在。到底什么樣的方法計算平行四邊形的面積才是正確的呢？學生現有的水平還不能夠做出正確的判斷，于是我就引入最開始學生接觸面積時所用的格子圖，幫助學生證明哪種求解方法是正確的。這就為接下來的證明提供了事實依據，突破了學生學習的難點。

教學片斷三：

師：這樣一來，我們就知道了誰的算法是對的。可這種算法為什么是對的，另一種算法為什么不對呢？

師（將原來的平行四邊形放在兩種思考方法的下面，讓學生觀察對比）：你有什么發現？

方法1： 方法2：

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生1：我發現第1種方法在拉動時面積變大了。endprint

師（動態演示拉動的過程）：哪里的面積變大了？為什么面積會變大？（一生上來指出面積變大的部分）

生2：因為在拉的過程中高變長了。（其他學生在他的提示下也發現了這個變化）

生3：我發現第2種方法跟剛才數格子的方法一樣，即把左邊的三角形移到了右邊，這時面積沒有發生變化。（其他學生點頭表示同意）

師：現在變化之后的長方形與原來的平行四邊形之間有什么關系？

生4：現在長方形的長相當于原來平行四邊形的底，現在長方形的寬相當于原來平行四邊形的高。

師：誰聽明白了？再來說一說。（生說略）

師：因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。（師板書：平行四邊形面積=底×高）

……

師：那么，剛才的第1種方法使原來平行四邊形的面積發生了改變，有不變的地方嗎？（學生靜下來思考）

生5：周長沒有變，還是那樣的四條邊。

生6：平行四邊形四條邊的位置發生了移動，但周長沒有變。

生7：我發現第2種方法中面積沒有變，但周長變短了，原來的斜邊被移到里面去了。

……

分析：這個環節的教學是讓學生通過自己的思考和觀察，發現兩種方法中的面積與原來平行四邊形面積之間的關系，培養學生觀察分析及空間想象的能力。在觀察中，學生發現第1種方法的面積變大了，是因為在拉動的過程中高在不斷地增大；而第2種方法，一部分面積只是被移到了另一邊，并沒有改變其大小。正是因為有了前面學生的獨立分析和體驗，才有了后來清晰的認識。

反思：

本節課既是學習多邊形面積的第一課時，也是學好面積與表面積的起始課，所以教師教學中要給學生提供充分想象的機會和搭建學習的平臺。本節課是以學生已有的長方形面積的知識為基礎，引導學生通過轉化的思想進行學習的。因此，教師教學中要把握好學生的學習起點，給予學生充分的肯定與自由探究的空間，并讓學生充分經歷轉化的過程，使學生明白該如何轉化求面積是正確的，才能為接下來的學習打好基礎。

上完課之后，我認真反思了本節課的教學，覺得要上好這節課還必須抓住以下三個對比。

1.轉化思想之間的對比

轉化思想是學習多邊形面積的基礎，不進行轉化就不能直接求出平行四邊形的面積。如果對于兩種轉化思想的對比（即拉動成長方形和剪拼成長方形這兩者之間的對比）沒有做到位，學生就無法弄清到底該如何正確地進行轉化并求出面積，也不清楚哪種轉化思想是對的，那接下來面對三角形與梯形面積的求解也就無從下手了。

2.變化后面積與原面積的對比

教學中將兩種不同方法轉化后得到的圖形展示出來，并將它們與原來的面積進行比較，學生就會發現兩種轉化思想的不同之處：一種是改變了原來的面積；另一種卻沒有改變，只是將一部分面積移到了另一邊。正是由于這些對比，才能清楚地幫助學生找到知識的關鍵所在，突破了本節課的難點，使學生學得輕松、扎實。

3.兩種轉化思想中周長與面積的對比

學生的這兩種轉化思想都是在長方形面積這個知識的基礎上進行遷移的，都有著智慧的火花。但是這兩種轉化思想卻有著本質的區別，即拉動成長方形使面積發生了變化，但周長始終沒有改變；剪拼成長方形時，面積并沒有發生改變，但是周長卻變短了。這種對比，有助于學生對面積和周長有更深入的體會與認識，幫助學生以后更好地學習面與線之間的關系。

（責編 杜 華）endprint

師（動態演示拉動的過程）：哪里的面積變大了？為什么面積會變大？（一生上來指出面積變大的部分）

生2：因為在拉的過程中高變長了。（其他學生在他的提示下也發現了這個變化）

生3：我發現第2種方法跟剛才數格子的方法一樣，即把左邊的三角形移到了右邊，這時面積沒有發生變化。（其他學生點頭表示同意）

師：現在變化之后的長方形與原來的平行四邊形之間有什么關系？

生4：現在長方形的長相當于原來平行四邊形的底，現在長方形的寬相當于原來平行四邊形的高。

師：誰聽明白了？再來說一說。（生說略）

師：因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。（師板書：平行四邊形面積=底×高）

……

師：那么，剛才的第1種方法使原來平行四邊形的面積發生了改變，有不變的地方嗎？（學生靜下來思考）

生5：周長沒有變，還是那樣的四條邊。

生6：平行四邊形四條邊的位置發生了移動，但周長沒有變。

生7：我發現第2種方法中面積沒有變，但周長變短了，原來的斜邊被移到里面去了。

……

分析：這個環節的教學是讓學生通過自己的思考和觀察，發現兩種方法中的面積與原來平行四邊形面積之間的關系，培養學生觀察分析及空間想象的能力。在觀察中，學生發現第1種方法的面積變大了，是因為在拉動的過程中高在不斷地增大；而第2種方法，一部分面積只是被移到了另一邊，并沒有改變其大小。正是因為有了前面學生的獨立分析和體驗，才有了后來清晰的認識。

反思：

本節課既是學習多邊形面積的第一課時，也是學好面積與表面積的起始課，所以教師教學中要給學生提供充分想象的機會和搭建學習的平臺。本節課是以學生已有的長方形面積的知識為基礎，引導學生通過轉化的思想進行學習的。因此，教師教學中要把握好學生的學習起點，給予學生充分的肯定與自由探究的空間，并讓學生充分經歷轉化的過程，使學生明白該如何轉化求面積是正確的，才能為接下來的學習打好基礎。

上完課之后，我認真反思了本節課的教學，覺得要上好這節課還必須抓住以下三個對比。

1.轉化思想之間的對比

轉化思想是學習多邊形面積的基礎，不進行轉化就不能直接求出平行四邊形的面積。如果對于兩種轉化思想的對比（即拉動成長方形和剪拼成長方形這兩者之間的對比）沒有做到位，學生就無法弄清到底該如何正確地進行轉化并求出面積，也不清楚哪種轉化思想是對的，那接下來面對三角形與梯形面積的求解也就無從下手了。

2.變化后面積與原面積的對比

教學中將兩種不同方法轉化后得到的圖形展示出來，并將它們與原來的面積進行比較，學生就會發現兩種轉化思想的不同之處：一種是改變了原來的面積；另一種卻沒有改變，只是將一部分面積移到了另一邊。正是由于這些對比，才能清楚地幫助學生找到知識的關鍵所在，突破了本節課的難點，使學生學得輕松、扎實。

3.兩種轉化思想中周長與面積的對比

學生的這兩種轉化思想都是在長方形面積這個知識的基礎上進行遷移的，都有著智慧的火花。但是這兩種轉化思想卻有著本質的區別，即拉動成長方形使面積發生了變化，但周長始終沒有改變；剪拼成長方形時，面積并沒有發生改變，但是周長卻變短了。這種對比，有助于學生對面積和周長有更深入的體會與認識，幫助學生以后更好地學習面與線之間的關系。

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師（動態演示拉動的過程）：哪里的面積變大了？為什么面積會變大？（一生上來指出面積變大的部分）

生2：因為在拉的過程中高變長了。（其他學生在他的提示下也發現了這個變化）

生3：我發現第2種方法跟剛才數格子的方法一樣，即把左邊的三角形移到了右邊，這時面積沒有發生變化。（其他學生點頭表示同意）

師：現在變化之后的長方形與原來的平行四邊形之間有什么關系？

生4：現在長方形的長相當于原來平行四邊形的底，現在長方形的寬相當于原來平行四邊形的高。

師：誰聽明白了？再來說一說。（生說略）

師：因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。（師板書：平行四邊形面積=底×高）

……

師：那么，剛才的第1種方法使原來平行四邊形的面積發生了改變，有不變的地方嗎？（學生靜下來思考）

生5：周長沒有變，還是那樣的四條邊。

生6：平行四邊形四條邊的位置發生了移動，但周長沒有變。

生7：我發現第2種方法中面積沒有變，但周長變短了，原來的斜邊被移到里面去了。

……

分析：這個環節的教學是讓學生通過自己的思考和觀察，發現兩種方法中的面積與原來平行四邊形面積之間的關系，培養學生觀察分析及空間想象的能力。在觀察中，學生發現第1種方法的面積變大了，是因為在拉動的過程中高在不斷地增大；而第2種方法，一部分面積只是被移到了另一邊，并沒有改變其大小。正是因為有了前面學生的獨立分析和體驗，才有了后來清晰的認識。

反思：

本節課既是學習多邊形面積的第一課時，也是學好面積與表面積的起始課，所以教師教學中要給學生提供充分想象的機會和搭建學習的平臺。本節課是以學生已有的長方形面積的知識為基礎，引導學生通過轉化的思想進行學習的。因此，教師教學中要把握好學生的學習起點，給予學生充分的肯定與自由探究的空間，并讓學生充分經歷轉化的過程，使學生明白該如何轉化求面積是正確的，才能為接下來的學習打好基礎。

上完課之后，我認真反思了本節課的教學，覺得要上好這節課還必須抓住以下三個對比。

1.轉化思想之間的對比

轉化思想是學習多邊形面積的基礎，不進行轉化就不能直接求出平行四邊形的面積。如果對于兩種轉化思想的對比（即拉動成長方形和剪拼成長方形這兩者之間的對比）沒有做到位，學生就無法弄清到底該如何正確地進行轉化并求出面積，也不清楚哪種轉化思想是對的，那接下來面對三角形與梯形面積的求解也就無從下手了。

2.變化后面積與原面積的對比

教學中將兩種不同方法轉化后得到的圖形展示出來，并將它們與原來的面積進行比較，學生就會發現兩種轉化思想的不同之處：一種是改變了原來的面積；另一種卻沒有改變，只是將一部分面積移到了另一邊。正是由于這些對比，才能清楚地幫助學生找到知識的關鍵所在，突破了本節課的難點，使學生學得輕松、扎實。

3.兩種轉化思想中周長與面積的對比

學生的這兩種轉化思想都是在長方形面積這個知識的基礎上進行遷移的，都有著智慧的火花。但是這兩種轉化思想卻有著本質的區別，即拉動成長方形使面積發生了變化，但周長始終沒有改變；剪拼成長方形時，面積并沒有發生改變，但是周長卻變短了。這種對比，有助于學生對面積和周長有更深入的體會與認識，幫助學生以后更好地學習面與線之間的關系。

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