滲透模型思想 提升教學效益

王仕勤

模型思想是《數學課程標準》新增的四個核心概念之一，并在課程設計思路中強調“要重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程”。模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，所以模型思想的滲透應該貫穿于數學教學的始終。

數學模型，一般是指用數學語言、符號或圖形等形式來刻畫、描述、反映特定的問題或事物之間關系的數學結構。數學模型的表現形式為概念系統、算法系統、關系、定律等，具有一般化、典型化和精確化的特點。學生學習數學的過程，實際上是對一系列數學模型的理解、把握、應用的過程，所以數學模型在“圖形與幾何”教學中有著不可替代的作用。本文結合自己的教學實踐，就“圖形與幾何”領域教學中如何滲透建模思想和提高教學效益，談一些粗淺的認識，以期拋磚引玉，共同提高。

一、經歷“生活原型——數學模型”的抽象過程

空間想象能力具有較強的抽象性，需要不斷地從具體實物中抽象出數學模型，實現生活原型到數學模型的過渡。因此，課堂教學中，教師要充分利用一些典型的生活素材和實際問題，創設符合學生實際的生活情境，為構建模型提供豐富的感性體驗，引導學生積極主動地構建數學模型，有利于學生體會和感悟模型思想。

案例：教學“體積”

師（將兩個大小相同的杯子裝上同樣多的水，把一塊石頭浸沒在其中的一個杯子里）：你發現了什么？

生1：水面比原來升高了。

師：為什么升高呢？杯子中的水增加了？

生2：不是的，是石頭占了一部分水的空間，把水“擠”高了。

師：這位同學說得很好，實際上地球上的物體都占有一定的空間。

師（再拿一塊較大的石頭放入另一個杯子里）：你又發現了什么？

生3：水面比第一個杯子里的水面高。

師：你知道這是為什么嗎？

生4：第二次放的石頭比第一次的大。

師：你能用數學的語言說說嗎？

……

“數學來源于生活，又服務于生活”，有效建模是聯結數學與生活的橋梁。鮮活的素材應當來源于學生的生活現實，可以是學生在生活中看到的、聽到的、感受到的，也可以是他們在數學或其他學科學習過程中能夠思考和操作的屬于思維層面的現實。上述教學中，“體積”這一概念模型比較抽象，但學生在生活中對于“×××的位子被占了”這些感性體驗比較豐富，于是我立足于學生的這些生活經驗，使抽象的數學概念有了豐富的表象作支撐，學生很自然地理解了物體所占空間有大有小，并能用數學語言說出體積的概念。因此，學習素材應盡量來源于社會、自然與科學中的現象和問題，且這些現象與問題應當包括一定的數學價值。

二、經歷“已有模型——新建模型”的創造過程

荷蘭數學教育家弗賴塔爾反復強調：“學習數學的唯一正確方法是實行再創造，也就是由學生本人把要學的東西自己去發現創造出來，教師的任務是引導和幫助學生進行這種再創造，而不是把現行的知識灌輸給學生。”從某種意義上說，數學本身就是主體建構的一種產物，應該是活的、動態的、開放的。學生的“再創造”必須經過自己的探究、發現，所以教師教學中應當讓學生經歷自主探索、自主構建數學模型的過程。

案例：教學“三角形的面積”

師：這節課學習三角形面積，你們準備如何來研究它？

生1：我想研究它與學過的什么圖形有關。

生2：我想把它轉化成已學過的圖形。

師：你們的想法都有道理。每個小組的桌上都有學具，利用這些學具進行操作、研究，看能否發現三角形面積的計算公式。（學生分組進行操作、研究）

師：誰愿意把自己小組的研究情況展示給大家？

生3：我用兩個三角形拼成了一個長方形，也可以拼成一個平行四邊形。

生4：我也是用兩個三角形拼成了一個長方形。

師：很好。你們的研究結果呢？

生5：因為原三角形的底等于長方形的長，原三角形的高等于長方形的寬，所以三角形面積=長方形面積÷2=底×高÷2。

師：為什么要除以2？

生5：因為要用兩個完全一樣的三角形才能拼成一個長方形，所以求一個三角形的面積要除以2。

師：真會動腦筋。還有不一樣的方法嗎？

生6：把平行四邊形沿對角線剪開，得到兩個一樣的三角形，所以三角形面積=底×高÷2。

……

在這個教學案例中，學生最大的收獲莫過于他們主動參與了建模的各個環節。教師提出三角形如何來研究的問題，喚醒學生已有的數學模型，為構建新模型打下了良好的基礎。學生通過獨立思考、操作、交流，探索出了三角形的面積=底×高÷2。“三角形面積的計算公式”這一模型的構建過程，是學生“創造數學”的生動過程。幾何圖形的教學應該從學生的生活經驗和已有的知識出發，給學生呈現現實的、有意義的、富有挑戰性的問題，在問題解決的過程中，引導學生進行觀察、操作、比較、分析、綜合、歸納、建構等一系列探究活動，獲得“數學再創造”的實際體驗，品嘗到數學探索成功的喜悅。

三、經歷“問題解決——模型構建”的探索過程

《數學課程標準》中指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。”我在“三角形的三邊關系”一課教學中，為讓學生建立“三角形的兩邊之和大于第三邊”的數學模型，設計了“制造問題——發現問題——解決問題——建立模型”的教學路徑，使數學模型得以能動的構建。

案例：教學“三角形的三邊關系”

師（請學生從材料袋中取出一根吸管）：你們能將這根吸管剪成三段并圍成一個三角形嗎？endprint

生（信心十足）：能！（學生有的成功圍成了三角形，有的則圍不成）

師：操作過程中有什么問題嗎？

生1：老師，我剪的三段吸管怎么圍不成三角形呢？

師：看來，不是隨便剪成三段就可以圍成三角形的，這里面隱藏著什么秘密？能不能把沒有圍成的“作品”貢獻出來供大家研究？

師（出示下圖）：這三根吸管肯定圍不成三角形嗎？

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生2：另兩根吸管斜一點，或許三角形就可能圍成。

師演示過程如下：

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生3：我知道為什么圍不成三角形了，因為這兩根吸管合起來沒有第三根長。

師：是啊，由此你們可以得到什么結論？

生4：當兩根吸管的長度之和小于第三根時，不能圍成三角形。

師：那兩根吸管的長度和多長時，就能圍成三角形呢？

生5：我猜兩根吸管的長度和與第三根一樣長時，能圍成三角形。

生6：我猜兩根吸管的長度和比第三根長時，才能圍成三角形。

師：大家的猜測對不對呢？我們再來做一次實驗。請同桌每人拿一根吸管，合作完成這兩個實驗。（不一會兒，學生通過實驗知道兩根吸管的長度和與第三根一樣長時不能圍成三角形，只有當兩根吸管的長度和比第三根長時才能圍成三角形）

……

讓學生任意剪吸管，會出現許多不確定因素，即有的學生能圍成三角形，有的圍不成。教師成功地讓學生發現問題，產生認知沖突，進而產生了進一步研究的欲望。學生在交流中，經驗得以分享；在質疑中，模型得以顯現；在補充中，意義得以拓展。顯然，學生對這個數學模型構建過程的體驗是深刻的，是學生經歷問題發現、探究、解決的過程。雖然經過一波三折才逐漸揭開數學神秘的面紗，但這樣的過程，使學生的學習更真實，探究的結果更可信，記憶也就更深刻。

四、經歷“猜想驗證——模型建構”的思維過程

數學是一門邏輯性很強的學科，要變“被動接受”為“主動建構”，思維是核心。“圖形與幾何”領域中有許多性質、特征、公式的教學，可以讓學生通過猜想、驗證的方法，親身經歷模型的建構過程。猜想是依據已有的材料或知識經驗，做出符合一定規律或事實的推測性想象。對于探索或發現性學習來說，猜想是一種重要的思維方法。讓學生驗證自己的猜想，使學生在驗證過程中發現新的問題，并在解決新問題的過程中完善自己的猜想，發揮創造才能，最終發現規律。這樣的學習過程可以概括為“提出猜想——進行驗證——自我反思——建立模型”，這不僅是一個主動學習的過程，更是一個發現學習、能動建模、創新學習的過程。

例如，在“長方形、正方形面積”的練習課上，我設計了這樣一題：“一個長方形的長是15厘米，剪去一個最大的正方形后，求剩下的小長方形的周長。”圍繞這個問題，我設計了如下的教學流程：一是提供材料引出疑問，即“長方形的寬不一定，怎樣求剩下的小長方形的周長”。二是引導學生提出猜想或假設。有的學生假設原長方形的寬為12厘米時，剩下的小長方形的周長是30厘米。這時有學生提出質疑：“如果寬是9厘米，小長方形的周長還是30厘米嗎？”三是讓學生進行驗證。如當寬為10厘米、8厘米等不同數據時，剩下的小長方形周長都是30厘米。四是引導學生反思。“不管寬是多少，剪去一個最大的正方形后剩下的小長方形的周長是一個固定不變的值，這是為什么？”五是建立模型。長方形的長是a，寬是b，剪去一個最大的正方形后剩下的小長方形的長為b，寬是a-b，周長等于（b+a-b）×2=2a，剩下小的長方形的周長就是原來長方形的長的2倍……學生主要圍繞原長方形的寬究竟是多少展開討論、探究，當有學生提出對假設的方法進行賦值時，其他學生對其可靠性和正確性心存疑慮。我從學生有疑入手，引導學生通過假設尋找規律，讓學生自己經歷主動建構的過程，體會到驗證也是自主建模的好方法。

著名數學家懷特海說過：“數學就是對于模式的研究。”在“圖形與幾何”教學中運用模型思想組織教學，能使學生深刻地理解數學知識的豐富內涵，感悟數學與現實生活的密切聯系，使教學收到事半功倍的效果。在教學過程中滲透數學模型思想，引導學生親歷數學模型的建構過程，既是實際問題數學化的過程，也是思維訓練的過程。因此，在課堂教學中，引導學生建立數學模型思想，必將有助于提高學生發現數學、創造數學、運用數學的能力，使學生日后也能像數學家那樣嘗試用模型思想解決生活中的實際問題。

（責編 杜 華）endprint