有效改組習題 促進經驗生長

李正祥

《數學課程標準》指出：“義務教育數學課程的目標在于，獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。”這里的基本活動經驗，實際上是指“學生親自或間接經歷了活動過程而獲得的經驗”。同時，《數學課程標準》也指出：“數學活動經驗需要在‘做的過程和‘思考的過程中積淀，是在學生學習過程中逐步積累的。”筆者為此做了一些嘗試，對教材中的習題進行有效改組，挖掘習題的隱性價值，設計出一道道富有挑戰性的問題，引發學生獨立思考、自主探究和合作交流，并開展多種形式的數學活動，引導他們經歷問題的解決過程，積累基本的活動經驗。現結合六年級教材“分數的四則混合運算”章節中的一道習題，談談自己的做法。

課本問題：

1.畫一個長6厘米、寬4厘米的長方形，把這個長方形的長和寬分別增加■后，各是多少厘米？現在長方形的面積是原來的幾分之幾？

2.任意畫一個長方形，再把長方形的長和寬增加■，現在的長方形面積是原來的幾分之幾？

比較兩題的結果，你有什么發現？

教材的編寫意圖是：從特殊到一般，引導學生舉多個例子進行驗證，并運用不完全歸納法逐步發現其中的變化規律。如果按這樣的程序進行教學，學生往往缺少獨立思考的機會，總是按照教師的要求一步一步地操作、演算，很難讓學生經歷探究的過程，更談不上活動經驗的積累。

筆者發現，這兩道題經過改組、合并后，可以提出具有挑戰性的問題，能引發學生探究的興趣，激發他們解決問題的欲望，培養自主分析、解決問題的能力，促進活動經驗的生長。為此，筆者直接拋出如下問題：把一個長方形的長和寬分別增加■，現在長方形的面積是原來的幾分之幾？學生開始感到困難，不知從何處下手解決問題。很快，有些學生便開始在草稿紙上畫圖、演算，有些學生則圍在一起展開了熱烈的討論，幾分鐘后全班交流、展示。

方法（1）：假設長6厘米、寬4厘米（圖略），并計算出現在長方形的面積和原來長方形的面積，得到現在長方形的面積是原來的■。

交流后，部分學生提出他們也是假設長和寬為具體的數據，但不是6厘米和4厘米，不過結論一致。少數學生提出，假設具體的數據是一種好方法，但是不能窮盡所有的數據，這樣得到的結論可能正確，也可能不正確。

方法2：假設長是a，寬是b。計算得出現在的長是■a，寬是■b，現在的面積是■ab。因為原來的面積是ab，所以現在的面積是原來的■。

交流后，多數學生認為這種方法好，把方法（1）中具體數據的列舉變成字母計算，涵蓋了所有的情況，得到的結論一定是正確的。這時，有個別學生開始坐不住了，覺得還有更簡潔的方法。

方法（3）：把長看作“1”，寬也看作“1”，那么現在的長就是原來的■，寬也是原來的■，■×■=■，得出現在的面積就是原來的■。

“一石激起千層浪”，教室像炸開了的鍋，有些學生開始質疑：“長和寬都是‘1，那是正方形了，我們研究的是長方形。”有些學生立刻說：“正方形是特殊的長方形。”也有的學生說：“這里的‘1并非指計量單位，而是把長看作單位‘1，寬也看作單位‘1，這兩個單位‘1可以表示不同的長度，所以結論是正確的。”……隨后，學生進行以下變式練習。

出示題目：

1.把一個長方形的長減少■，寬減少■，現在長方形的面積是原來的幾分之幾？

2.把一個長方形的長增加■，寬減少■，現在長方形的面積是原來的幾分之幾？

在練習第1題時，很多學生堅持自己的想法，仍然運用方法（1）進行計算，還有部分學生用方法（2）進行計算，其余學生都用方法（3）直接計算，很快就得出了結果。到練習第2題時，幾乎所有的學生都用方法（3）進行計算，當筆者問他們為什么不再用方法（1）或方法（2）計算時，他們都覺得驗證的過程已經證明方法（3）是可行的。

筆者覺得通過這樣的習題改組，使學生經歷獨立思考、合作探究的過程，對學生的經驗生長有以下幾個好處。

一、喚醒已有經驗

學生在學習過程中已經積累了很多基本經驗，如操作的經驗、探究的經驗、推理的經驗等。每次學習并不是都能獲取新的經驗，而是運用已有的經驗展開新知識的探究和學習。因此，成功地喚醒學生的已有經驗，利用已有經驗組織、展開教學至關重要。學生在之前的學習中已經積累的經驗至少有三種：一是操作的經驗，也就是畫圖表達題意，從圖中獲得必需的數據進行演算；二是探究的經驗，不完全歸納是小學階段常見的探究方法，在以前的學習過程中經常用到；三是類比的經驗，學生往往習慣于在不同的解決方法之間進行類比，從而獲得更高層次的活動經驗，得到更快捷、更簡單的解決問題的方法。改組習題后，不同的學生根據自己的經驗，采取不同的解決問題的方法，表現出學生對經驗的積累層次不一。這時提出有挑戰性的問題，能喚醒學生的已有經驗，有利于運用不同層次的經驗解決問題，同時回顧、發展、提升了經驗，使經驗不斷地得到生長。

二、有利經驗改造

美國組織行為學教授庫伯提出的經驗學習理論認為：“學習是始于經驗，然后回歸于經驗、改造或者轉化經驗、創造知識的過程。”小學生的經驗生長是從直觀、具體、形象逐步走向抽象、方法、建模的過程，一開始多表現為經歷活動后在自己的情感、意志世界里留下感性的、直觀的、形象的體驗，到了高年級后，學生會不斷地在已有經驗的基礎上反思、提升、改造自己的學習經驗。教師應在這個過程中提供真實的、富有挑戰性的研究問題，不斷地沖擊著學生的已有經驗，激發學生改造經驗的欲望。筆者在改編這道題之前，進行了學情調研，發現學生對圖形中具體的數據十分注重，且運用數據計算發現規律的經驗已經形成，但是缺少數據時學生往往沒有探究的經驗和方法，不知如何入手。為此，筆者改編這道習題，旨在激發學生的已有經驗，并不斷引導學生改造經驗，使學生獲得解決這類問題的研究性經驗。通過嘗試，學生從具體的圖形和數據到抽象的字母表達再到模式、策略化的研究，使已有的經驗得到了改造。

三、獲取新的經驗

“獲得基本的活動經驗”是一個十分重要的課程目標。學生在學習過程中獲取一定數量的基本活動經驗，是實現過程方法目標的基本載體。學生達到“學會學習”最直接的學習結果，就是讓學生積累基本的活動經驗，獲得學習方法和能力的發展，使某些活動經驗積淀為策略性知識、數學學科的基本思想，甚至某些經驗還會成為學習的智慧和能力。通過改編習題，讓學生產生挑戰問題的欲望，進而尋求合適的方法解決問題，品嘗到成功的喜悅。同時，通過教師的適時點撥，不斷地引導學生進行自我反思，使學生獲得一些新的經驗。如上述案例，學生經歷了獨立思考、合作探究、對比沖突、改進提升的過程，從直觀到抽象、從特殊到一般、從不完全歸納到完全歸納，對解決問題的方法有了質的飛躍，增長了探究性經驗，獲取了新的解決問題的經驗，今后遇到此類問題時定會從容解決。

（責編 杜 華）endprint

《數學課程標準》指出：“義務教育數學課程的目標在于，獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。”這里的基本活動經驗，實際上是指“學生親自或間接經歷了活動過程而獲得的經驗”。同時，《數學課程標準》也指出：“數學活動經驗需要在‘做的過程和‘思考的過程中積淀，是在學生學習過程中逐步積累的。”筆者為此做了一些嘗試，對教材中的習題進行有效改組，挖掘習題的隱性價值，設計出一道道富有挑戰性的問題，引發學生獨立思考、自主探究和合作交流，并開展多種形式的數學活動，引導他們經歷問題的解決過程，積累基本的活動經驗。現結合六年級教材“分數的四則混合運算”章節中的一道習題，談談自己的做法。

課本問題：

1.畫一個長6厘米、寬4厘米的長方形，把這個長方形的長和寬分別增加■后，各是多少厘米？現在長方形的面積是原來的幾分之幾？

2.任意畫一個長方形，再把長方形的長和寬增加■，現在的長方形面積是原來的幾分之幾？

比較兩題的結果，你有什么發現？

教材的編寫意圖是：從特殊到一般，引導學生舉多個例子進行驗證，并運用不完全歸納法逐步發現其中的變化規律。如果按這樣的程序進行教學，學生往往缺少獨立思考的機會，總是按照教師的要求一步一步地操作、演算，很難讓學生經歷探究的過程，更談不上活動經驗的積累。

筆者發現，這兩道題經過改組、合并后，可以提出具有挑戰性的問題，能引發學生探究的興趣，激發他們解決問題的欲望，培養自主分析、解決問題的能力，促進活動經驗的生長。為此，筆者直接拋出如下問題：把一個長方形的長和寬分別增加■，現在長方形的面積是原來的幾分之幾？學生開始感到困難，不知從何處下手解決問題。很快，有些學生便開始在草稿紙上畫圖、演算，有些學生則圍在一起展開了熱烈的討論，幾分鐘后全班交流、展示。

方法（1）：假設長6厘米、寬4厘米（圖略），并計算出現在長方形的面積和原來長方形的面積，得到現在長方形的面積是原來的■。

交流后，部分學生提出他們也是假設長和寬為具體的數據，但不是6厘米和4厘米，不過結論一致。少數學生提出，假設具體的數據是一種好方法，但是不能窮盡所有的數據，這樣得到的結論可能正確，也可能不正確。

方法2：假設長是a，寬是b。計算得出現在的長是■a，寬是■b，現在的面積是■ab。因為原來的面積是ab，所以現在的面積是原來的■。

交流后，多數學生認為這種方法好，把方法（1）中具體數據的列舉變成字母計算，涵蓋了所有的情況，得到的結論一定是正確的。這時，有個別學生開始坐不住了，覺得還有更簡潔的方法。

方法（3）：把長看作“1”，寬也看作“1”，那么現在的長就是原來的■，寬也是原來的■，■×■=■，得出現在的面積就是原來的■。

“一石激起千層浪”，教室像炸開了的鍋，有些學生開始質疑：“長和寬都是‘1，那是正方形了，我們研究的是長方形。”有些學生立刻說：“正方形是特殊的長方形。”也有的學生說：“這里的‘1并非指計量單位，而是把長看作單位‘1，寬也看作單位‘1，這兩個單位‘1可以表示不同的長度，所以結論是正確的。”……隨后，學生進行以下變式練習。

出示題目：

1.把一個長方形的長減少■，寬減少■，現在長方形的面積是原來的幾分之幾？

2.把一個長方形的長增加■，寬減少■，現在長方形的面積是原來的幾分之幾？

在練習第1題時，很多學生堅持自己的想法，仍然運用方法（1）進行計算，還有部分學生用方法（2）進行計算，其余學生都用方法（3）直接計算，很快就得出了結果。到練習第2題時，幾乎所有的學生都用方法（3）進行計算，當筆者問他們為什么不再用方法（1）或方法（2）計算時，他們都覺得驗證的過程已經證明方法（3）是可行的。

筆者覺得通過這樣的習題改組，使學生經歷獨立思考、合作探究的過程，對學生的經驗生長有以下幾個好處。

一、喚醒已有經驗

學生在學習過程中已經積累了很多基本經驗，如操作的經驗、探究的經驗、推理的經驗等。每次學習并不是都能獲取新的經驗，而是運用已有的經驗展開新知識的探究和學習。因此，成功地喚醒學生的已有經驗，利用已有經驗組織、展開教學至關重要。學生在之前的學習中已經積累的經驗至少有三種：一是操作的經驗，也就是畫圖表達題意，從圖中獲得必需的數據進行演算；二是探究的經驗，不完全歸納是小學階段常見的探究方法，在以前的學習過程中經常用到；三是類比的經驗，學生往往習慣于在不同的解決方法之間進行類比，從而獲得更高層次的活動經驗，得到更快捷、更簡單的解決問題的方法。改組習題后，不同的學生根據自己的經驗，采取不同的解決問題的方法，表現出學生對經驗的積累層次不一。這時提出有挑戰性的問題，能喚醒學生的已有經驗，有利于運用不同層次的經驗解決問題，同時回顧、發展、提升了經驗，使經驗不斷地得到生長。

二、有利經驗改造

美國組織行為學教授庫伯提出的經驗學習理論認為：“學習是始于經驗，然后回歸于經驗、改造或者轉化經驗、創造知識的過程。”小學生的經驗生長是從直觀、具體、形象逐步走向抽象、方法、建模的過程，一開始多表現為經歷活動后在自己的情感、意志世界里留下感性的、直觀的、形象的體驗，到了高年級后，學生會不斷地在已有經驗的基礎上反思、提升、改造自己的學習經驗。教師應在這個過程中提供真實的、富有挑戰性的研究問題，不斷地沖擊著學生的已有經驗，激發學生改造經驗的欲望。筆者在改編這道題之前，進行了學情調研，發現學生對圖形中具體的數據十分注重，且運用數據計算發現規律的經驗已經形成，但是缺少數據時學生往往沒有探究的經驗和方法，不知如何入手。為此，筆者改編這道習題，旨在激發學生的已有經驗，并不斷引導學生改造經驗，使學生獲得解決這類問題的研究性經驗。通過嘗試，學生從具體的圖形和數據到抽象的字母表達再到模式、策略化的研究，使已有的經驗得到了改造。

三、獲取新的經驗

“獲得基本的活動經驗”是一個十分重要的課程目標。學生在學習過程中獲取一定數量的基本活動經驗，是實現過程方法目標的基本載體。學生達到“學會學習”最直接的學習結果，就是讓學生積累基本的活動經驗，獲得學習方法和能力的發展，使某些活動經驗積淀為策略性知識、數學學科的基本思想，甚至某些經驗還會成為學習的智慧和能力。通過改編習題，讓學生產生挑戰問題的欲望，進而尋求合適的方法解決問題，品嘗到成功的喜悅。同時，通過教師的適時點撥，不斷地引導學生進行自我反思，使學生獲得一些新的經驗。如上述案例，學生經歷了獨立思考、合作探究、對比沖突、改進提升的過程，從直觀到抽象、從特殊到一般、從不完全歸納到完全歸納，對解決問題的方法有了質的飛躍，增長了探究性經驗，獲取了新的解決問題的經驗，今后遇到此類問題時定會從容解決。

（責編 杜 華）endprint

《數學課程標準》指出：“義務教育數學課程的目標在于，獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。”這里的基本活動經驗，實際上是指“學生親自或間接經歷了活動過程而獲得的經驗”。同時，《數學課程標準》也指出：“數學活動經驗需要在‘做的過程和‘思考的過程中積淀，是在學生學習過程中逐步積累的。”筆者為此做了一些嘗試，對教材中的習題進行有效改組，挖掘習題的隱性價值，設計出一道道富有挑戰性的問題，引發學生獨立思考、自主探究和合作交流，并開展多種形式的數學活動，引導他們經歷問題的解決過程，積累基本的活動經驗。現結合六年級教材“分數的四則混合運算”章節中的一道習題，談談自己的做法。

課本問題：

1.畫一個長6厘米、寬4厘米的長方形，把這個長方形的長和寬分別增加■后，各是多少厘米？現在長方形的面積是原來的幾分之幾？

2.任意畫一個長方形，再把長方形的長和寬增加■，現在的長方形面積是原來的幾分之幾？

比較兩題的結果，你有什么發現？

教材的編寫意圖是：從特殊到一般，引導學生舉多個例子進行驗證，并運用不完全歸納法逐步發現其中的變化規律。如果按這樣的程序進行教學，學生往往缺少獨立思考的機會，總是按照教師的要求一步一步地操作、演算，很難讓學生經歷探究的過程，更談不上活動經驗的積累。

筆者發現，這兩道題經過改組、合并后，可以提出具有挑戰性的問題，能引發學生探究的興趣，激發他們解決問題的欲望，培養自主分析、解決問題的能力，促進活動經驗的生長。為此，筆者直接拋出如下問題：把一個長方形的長和寬分別增加■，現在長方形的面積是原來的幾分之幾？學生開始感到困難，不知從何處下手解決問題。很快，有些學生便開始在草稿紙上畫圖、演算，有些學生則圍在一起展開了熱烈的討論，幾分鐘后全班交流、展示。

方法（1）：假設長6厘米、寬4厘米（圖略），并計算出現在長方形的面積和原來長方形的面積，得到現在長方形的面積是原來的■。

交流后，部分學生提出他們也是假設長和寬為具體的數據，但不是6厘米和4厘米，不過結論一致。少數學生提出，假設具體的數據是一種好方法，但是不能窮盡所有的數據，這樣得到的結論可能正確，也可能不正確。

方法2：假設長是a，寬是b。計算得出現在的長是■a，寬是■b，現在的面積是■ab。因為原來的面積是ab，所以現在的面積是原來的■。

交流后，多數學生認為這種方法好，把方法（1）中具體數據的列舉變成字母計算，涵蓋了所有的情況，得到的結論一定是正確的。這時，有個別學生開始坐不住了，覺得還有更簡潔的方法。

方法（3）：把長看作“1”，寬也看作“1”，那么現在的長就是原來的■，寬也是原來的■，■×■=■，得出現在的面積就是原來的■。

“一石激起千層浪”，教室像炸開了的鍋，有些學生開始質疑：“長和寬都是‘1，那是正方形了，我們研究的是長方形。”有些學生立刻說：“正方形是特殊的長方形。”也有的學生說：“這里的‘1并非指計量單位，而是把長看作單位‘1，寬也看作單位‘1，這兩個單位‘1可以表示不同的長度，所以結論是正確的。”……隨后，學生進行以下變式練習。

出示題目：

1.把一個長方形的長減少■，寬減少■，現在長方形的面積是原來的幾分之幾？

2.把一個長方形的長增加■，寬減少■，現在長方形的面積是原來的幾分之幾？

在練習第1題時，很多學生堅持自己的想法，仍然運用方法（1）進行計算，還有部分學生用方法（2）進行計算，其余學生都用方法（3）直接計算，很快就得出了結果。到練習第2題時，幾乎所有的學生都用方法（3）進行計算，當筆者問他們為什么不再用方法（1）或方法（2）計算時，他們都覺得驗證的過程已經證明方法（3）是可行的。

筆者覺得通過這樣的習題改組，使學生經歷獨立思考、合作探究的過程，對學生的經驗生長有以下幾個好處。

一、喚醒已有經驗

學生在學習過程中已經積累了很多基本經驗，如操作的經驗、探究的經驗、推理的經驗等。每次學習并不是都能獲取新的經驗，而是運用已有的經驗展開新知識的探究和學習。因此，成功地喚醒學生的已有經驗，利用已有經驗組織、展開教學至關重要。學生在之前的學習中已經積累的經驗至少有三種：一是操作的經驗，也就是畫圖表達題意，從圖中獲得必需的數據進行演算；二是探究的經驗，不完全歸納是小學階段常見的探究方法，在以前的學習過程中經常用到；三是類比的經驗，學生往往習慣于在不同的解決方法之間進行類比，從而獲得更高層次的活動經驗，得到更快捷、更簡單的解決問題的方法。改組習題后，不同的學生根據自己的經驗，采取不同的解決問題的方法，表現出學生對經驗的積累層次不一。這時提出有挑戰性的問題，能喚醒學生的已有經驗，有利于運用不同層次的經驗解決問題，同時回顧、發展、提升了經驗，使經驗不斷地得到生長。

二、有利經驗改造

美國組織行為學教授庫伯提出的經驗學習理論認為：“學習是始于經驗，然后回歸于經驗、改造或者轉化經驗、創造知識的過程。”小學生的經驗生長是從直觀、具體、形象逐步走向抽象、方法、建模的過程，一開始多表現為經歷活動后在自己的情感、意志世界里留下感性的、直觀的、形象的體驗，到了高年級后，學生會不斷地在已有經驗的基礎上反思、提升、改造自己的學習經驗。教師應在這個過程中提供真實的、富有挑戰性的研究問題，不斷地沖擊著學生的已有經驗，激發學生改造經驗的欲望。筆者在改編這道題之前，進行了學情調研，發現學生對圖形中具體的數據十分注重，且運用數據計算發現規律的經驗已經形成，但是缺少數據時學生往往沒有探究的經驗和方法，不知如何入手。為此，筆者改編這道習題，旨在激發學生的已有經驗，并不斷引導學生改造經驗，使學生獲得解決這類問題的研究性經驗。通過嘗試，學生從具體的圖形和數據到抽象的字母表達再到模式、策略化的研究，使已有的經驗得到了改造。

三、獲取新的經驗

“獲得基本的活動經驗”是一個十分重要的課程目標。學生在學習過程中獲取一定數量的基本活動經驗，是實現過程方法目標的基本載體。學生達到“學會學習”最直接的學習結果，就是讓學生積累基本的活動經驗，獲得學習方法和能力的發展，使某些活動經驗積淀為策略性知識、數學學科的基本思想，甚至某些經驗還會成為學習的智慧和能力。通過改編習題，讓學生產生挑戰問題的欲望，進而尋求合適的方法解決問題，品嘗到成功的喜悅。同時，通過教師的適時點撥，不斷地引導學生進行自我反思，使學生獲得一些新的經驗。如上述案例，學生經歷了獨立思考、合作探究、對比沖突、改進提升的過程，從直觀到抽象、從特殊到一般、從不完全歸納到完全歸納，對解決問題的方法有了質的飛躍，增長了探究性經驗，獲取了新的解決問題的經驗，今后遇到此類問題時定會從容解決。

（責編 杜 華）endprint