復變函數課程的有效教學策略探究

羅世堯

摘 要： 復變函數是數學與應用數學專業本、?？频囊婚T重要基礎課程。復變函數的性質定理多，概念抽象，學習難點多，由于受傳統教學模式的制約，歷來都存在難教難學的問題。作者結合自己多年的教學經歷，就在教學中如何改革教學模式，進一步提高教學效率，讓學生全面系統地理解和掌握復變函數的理論和方法，并提出教學策略。

關鍵詞： 復變函數 重點 難點 教學策略

引言

復變函數課程是高等師范大學和綜合性大學數學類專業本、?？频囊婚T重要基礎課。復變函數論主要研究對象是解析函數，是數學分析的后續課程，是實變函數微積分理論的推廣和發展；復變函數論又稱復分析，它不僅在內容上與實變函數微積分有許多類似之處，而且在研究問題方面與邏輯結構方面非常類似。復變函數論不僅是我們所學數學分析的理論推廣，而且作為一種強有力的工具，已經被廣泛地應用于自然科學的眾多領域，如理論物理、空氣動力學、流體力學、彈性力學及自動控制學等，目前被廣泛應用于信號處理、電子工程等領域。

作為高師數學專業復變函數課程的主講老師，我在多年的教學實踐中不斷進行深入的思考、探索，積累了一些經驗，在教學模式的改革方面進行了一些嘗試，下面談談自己的教學體會。

1.加強復數基礎知識教學

教材第一章主要講有關復數及復變函數的基本概念，雖然學生在高中學過復數的基礎知識，但由于該內容不是高考內容，中學數學教師對這部分內容一般都是略講，大多數學生都沒有學好；而這部分內容作為復變函數的基礎知識，不僅是復變函數后續內容的學習關鍵，而且對學生以后從事中學數學教學很重要。以前在復變函數的教學計劃中，我們把第一章的課時安排為4～6課時，教學實踐證明這個課時安排不合理，由于課時少，復數與復變函數的基礎知識沒學好，嚴重影響后面內容的學習，所以在近幾年的教學中，我們一般都安排8～10課時，其目的是夯實基礎，深刻理解復數和復變函數的有關概念，相關方法，重點理解幅角的無窮多值性、區域的有關概念及復數的幾何表示，掌握復數的運算方法及復變函數的極限、連續的研究方法，為進一步學習解析函數打下良好的基礎。

2.加強知識類比與同化

數學分析與復變函數相關知識結構對比：

從上面我們可以看出數學分析和復變函數的一些知識點的關系，復變函數是數學分析的后續課程，復變函數課程中有很多概念、性質、定理都是從數學分析平移過來的，因此，在復變函數教學時要加強與數學分析的聯系，即利用學生已有的分析基礎，發揮知識的遷移作用，促使知識的同化。在復變函數的教學中，通過與數學分析中的相關知識作對比，可以把數學分析中的一些知識延拓到復變函數中。比如數學分析中極限、連續、導數、微分、積分和級數有關概念、性質和定理都可以延拓到復變函數中，這樣可以極大地提高教學效率，促進學生對復變函數理論與方法的理解和掌握。

例如在講授復變函數極限概念的過程中可以與二元是函數的極限概念對比，利用實極限幫助學生對復極限的理解。復變函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）的實部u（x，y）和虛部v（x，y）都是二元實函數，可以把復變函數的極限問題轉化為數學分析中的二元函數的極限問題，利用不等式|u（x，y）|≤|f（z）|，|v（x，y）|≤|f（z）|，|f（z）|≤|u（x，y）|+|v（x，y）|，可以得到結論：f（z）在一點z=x+iy有極限的充要條件是u（x，y），v（x，y）這兩個二元實函數在在該點的極限都存在。

3.抓住重點，注意知識的系統化

雖然復變函數是數學分析的后續課程，但復變函數不僅僅是數學分析的延拓，還有許多和數學分析不同的概念與方法，比如：多值函數、洛朗級數與孤立奇點、留數理論等。在復變函數中學習的知識和數學分析中學習的知識側重點也不一樣，比如微分與導數，數學分析主要講微分的概念、意義和計算，而在復變函數中，對于微分與導數的概念、性質及計算是一帶而過，復變函數課程重點研究解析函數。復變函數概念多，性質定理多，在教學過程中，既要抓好雙基的教學，又要突出重點，更要通過總結、復習等教學環節，順著知識的邏輯結構，理清知識脈絡，這樣才能讓學生系統地掌握復變函數理論和方法。

例如：在教學柯西積分定理這一節時，柯西積分定理及推廣一共有四個定理，教學總結時一定要理順這四個定理的邏輯關系，即后面的定理包含前面的定理，并指出四個定理的本質是：f（z）在由周線（或復周線）C圍成的區域內解析，并且連續到邊界，那么？蘩■f（z）dz=0。在復習周線積分？蘩■f（z）dz的計算時，可按下列順序逐步判斷并計算，若f（z）在C內不解析，則一般用參數法計算；若f（z）在C內解析且連續到邊界，由柯西積分定理有？蘩■f（z）dz=0；若f（z）在C內有一個奇點，利用柯西積分公式計算；若f（z）在C內有多個奇點，則利用柯西留數定理計算。

4.改革教學模式，充分利用現代教學手段，突破教學難點

復變函數這門課程，歷來都存在難教難學的問題，其主要原因：一是這門課程內容中存在一些較難的知識點。比如：初等多值函數、柯西積分定理、解析函數的洛朗展式與孤立奇點等，這些概念、性質、定理抽象、思想方法復雜，學生難理解難掌握。二是傳統的教學模式以教師講授為主，由于板書及語言表述的局限性，不能展現知識的變化過程，嚴重影響學生對知識的理解和掌握，滿堂灌的講授更是無法調動學生的學習積極性。在教學中要改變傳統的教學模式，利用現代媒體技術積極探索新的教學模式。對于復變函數中的一些難點，我們一方面要充分利用現代教學手段，利用多媒體動態展示數學知識的發展過程及變化規律，另一方面要調動學生的學習積極性，讓學生主動參與探究知識的活動，感悟知識的變化過程，掌握應用知識解決問題的方法，同時體會到領悟知識的愉悅，這樣就能達到突破教學難點的目的。

結語

在復變函數課程的教學設計中，我們要改革傳統的教學模式，積極探索有效的教學模式；用先進的教學理念指導教學設計，精心設計教學過程；在教學過程中既要讓學生積極參與知識的探究過程，體驗到學習的快樂，又要充分利用現代教學手段，突出教學重點，突破教學難點，這樣就能實現三位一體的教學目標，使學生系統地掌握復變函數的理論和方法。

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