構造三角形中位線解圓錐曲線問題

蔣玉清

眾所周知，三角形中位線是平面幾何中的一個重要定理，近年高考題往往涉及圓錐曲線和平面幾何的綜合，如果在處理這類圓錐曲線問題中，利用坐標原點是兩焦點的中點，巧妙構造三角形中位線，揭示其幾何特征，通常能取到事半功倍的效果。

一、？搖求圓錐曲線的離心率

通過圓錐曲線的中心是連接兩焦點線段的中點，構造三角形中位線，建立方程，得到幾何量之間的關系。

例1 已知橢圓的一個焦點為F，若橢圓上存在點P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF相切于線段PF的中點A，則該橢圓的離心率為（ ）

A. B. C. D.

解 不妨設F是橢圓的左焦點，F(xiàn)′為右焦點，連接PF′，則OA是三角形PFF′的中位線，|PF′|=2|AO|=2b，

|PF|=2a-|PF′|=2a-2b。

在RtΔFPF′中，因為|PF′|2+|PF|2=|FF′|2，

所以4b2+（2a-2b）2=4c2，a2-2ab+2b2=c2。

b= a，b2= a，a2-c2= a2，解得e= 。

故答案選A。

二、求動點的軌跡

通過對弓箭形狀補成等腰三角形，借助于對稱性構造三角形中位線，獲取圓錐曲線中動點與不動點間的關系。

例2 設F ，F(xiàn) 分別是雙曲線 - =1的左右兩個焦點，Q是雙曲線右支上任意一點，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為P，求點P的軌跡方程。

解 延長F1P與QF2交于點M，因為QF1 -QF2 =2a=4，QF1 =QM。

所以QM-QF2 =4，MF2 =4，從而OP= MF2 =2，即x2+y2=4。

于是點P的軌跡方程是圓的一部分。

三、判斷兩圓的位置關系

通過構造三角形中位線建立圓錐曲線中變量之間的相互關系。

例3 已知點P（x0，y0）是橢圓 + （a>b>0）上的任意一點，F(xiàn)1、F2是焦點，求證：以PF 為直徑的圓必和以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切。

證明 設以PF2為直徑的圓的圓心為A，半徑為r。

因為F1、F2為焦點，所以由橢圓定義知，|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r。

所以|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a-r）。連接OA，由三角形中位線定理，知

|OA|= |PF1|= ×2（a-r）=a-r。

故以PF2為直徑的圓必和以長軸為直徑的圓相內(nèi)切。

四、求線段的長度

通過構造三角形中位線，探求涉及圓錐曲線不變量的度量。

例4 設橢圓 + =1上一點P到左準線的距離為10，F(xiàn)1是該橢圓的左焦點，

若點M滿足 = （ + ），則| |= 。

解 設橢圓右焦點為F2，根據(jù)第二定義可解答：

因為 = = ，所以|PF1|=6，所以|PF2|=2a-|PF1|=4。

又 = （ + ），所以M為PF1中點，

則| |是△PF2F1的中位線。

所以| |= |PF2|=2。

綜上所述，我們在解答涉及圓錐曲線問題時，要注重平面幾何知識的運用，加強數(shù)與形的認識，提高綜合解題能力。 （作者單位：江西省南昌市第三中學）endprint

眾所周知，三角形中位線是平面幾何中的一個重要定理，近年高考題往往涉及圓錐曲線和平面幾何的綜合，如果在處理這類圓錐曲線問題中，利用坐標原點是兩焦點的中點，巧妙構造三角形中位線，揭示其幾何特征，通常能取到事半功倍的效果。

一、？搖求圓錐曲線的離心率

通過圓錐曲線的中心是連接兩焦點線段的中點，構造三角形中位線，建立方程，得到幾何量之間的關系。

例1 已知橢圓的一個焦點為F，若橢圓上存在點P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF相切于線段PF的中點A，則該橢圓的離心率為（ ）

A. B. C. D.

解 不妨設F是橢圓的左焦點，F(xiàn)′為右焦點，連接PF′，則OA是三角形PFF′的中位線，|PF′|=2|AO|=2b，

|PF|=2a-|PF′|=2a-2b。

在RtΔFPF′中，因為|PF′|2+|PF|2=|FF′|2，

所以4b2+（2a-2b）2=4c2，a2-2ab+2b2=c2。

b= a，b2= a，a2-c2= a2，解得e= 。

故答案選A。

二、求動點的軌跡

通過對弓箭形狀補成等腰三角形，借助于對稱性構造三角形中位線，獲取圓錐曲線中動點與不動點間的關系。

例2 設F ，F(xiàn) 分別是雙曲線 - =1的左右兩個焦點，Q是雙曲線右支上任意一點，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為P，求點P的軌跡方程。

解 延長F1P與QF2交于點M，因為QF1 -QF2 =2a=4，QF1 =QM。

所以QM-QF2 =4，MF2 =4，從而OP= MF2 =2，即x2+y2=4。

于是點P的軌跡方程是圓的一部分。

三、判斷兩圓的位置關系

通過構造三角形中位線建立圓錐曲線中變量之間的相互關系。

例3 已知點P（x0，y0）是橢圓 + （a>b>0）上的任意一點，F(xiàn)1、F2是焦點，求證：以PF 為直徑的圓必和以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切。

證明 設以PF2為直徑的圓的圓心為A，半徑為r。

因為F1、F2為焦點，所以由橢圓定義知，|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r。

所以|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a-r）。連接OA，由三角形中位線定理，知

|OA|= |PF1|= ×2（a-r）=a-r。

故以PF2為直徑的圓必和以長軸為直徑的圓相內(nèi)切。

四、求線段的長度

通過構造三角形中位線，探求涉及圓錐曲線不變量的度量。

例4 設橢圓 + =1上一點P到左準線的距離為10，F(xiàn)1是該橢圓的左焦點，

若點M滿足 = （ + ），則| |= 。

解 設橢圓右焦點為F2，根據(jù)第二定義可解答：

因為 = = ，所以|PF1|=6，所以|PF2|=2a-|PF1|=4。

又 = （ + ），所以M為PF1中點，

則| |是△PF2F1的中位線。

所以| |= |PF2|=2。

綜上所述，我們在解答涉及圓錐曲線問題時，要注重平面幾何知識的運用，加強數(shù)與形的認識，提高綜合解題能力。 （作者單位：江西省南昌市第三中學）endprint

眾所周知，三角形中位線是平面幾何中的一個重要定理，近年高考題往往涉及圓錐曲線和平面幾何的綜合，如果在處理這類圓錐曲線問題中，利用坐標原點是兩焦點的中點，巧妙構造三角形中位線，揭示其幾何特征，通常能取到事半功倍的效果。

一、？搖求圓錐曲線的離心率

通過圓錐曲線的中心是連接兩焦點線段的中點，構造三角形中位線，建立方程，得到幾何量之間的關系。

例1 已知橢圓的一個焦點為F，若橢圓上存在點P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF相切于線段PF的中點A，則該橢圓的離心率為（ ）

A. B. C. D.

解 不妨設F是橢圓的左焦點，F(xiàn)′為右焦點，連接PF′，則OA是三角形PFF′的中位線，|PF′|=2|AO|=2b，

|PF|=2a-|PF′|=2a-2b。

在RtΔFPF′中，因為|PF′|2+|PF|2=|FF′|2，

所以4b2+（2a-2b）2=4c2，a2-2ab+2b2=c2。

b= a，b2= a，a2-c2= a2，解得e= 。

故答案選A。

二、求動點的軌跡

通過對弓箭形狀補成等腰三角形，借助于對稱性構造三角形中位線，獲取圓錐曲線中動點與不動點間的關系。

例2 設F ，F(xiàn) 分別是雙曲線 - =1的左右兩個焦點，Q是雙曲線右支上任意一點，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為P，求點P的軌跡方程。

解 延長F1P與QF2交于點M，因為QF1 -QF2 =2a=4，QF1 =QM。

所以QM-QF2 =4，MF2 =4，從而OP= MF2 =2，即x2+y2=4。

于是點P的軌跡方程是圓的一部分。

三、判斷兩圓的位置關系

通過構造三角形中位線建立圓錐曲線中變量之間的相互關系。

例3 已知點P（x0，y0）是橢圓 + （a>b>0）上的任意一點，F(xiàn)1、F2是焦點，求證：以PF 為直徑的圓必和以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切。

證明 設以PF2為直徑的圓的圓心為A，半徑為r。

因為F1、F2為焦點，所以由橢圓定義知，|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r。

所以|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a-r）。連接OA，由三角形中位線定理，知

|OA|= |PF1|= ×2（a-r）=a-r。

故以PF2為直徑的圓必和以長軸為直徑的圓相內(nèi)切。

四、求線段的長度

通過構造三角形中位線，探求涉及圓錐曲線不變量的度量。

例4 設橢圓 + =1上一點P到左準線的距離為10，F(xiàn)1是該橢圓的左焦點，

若點M滿足 = （ + ），則| |= 。

解 設橢圓右焦點為F2，根據(jù)第二定義可解答：

因為 = = ，所以|PF1|=6，所以|PF2|=2a-|PF1|=4。

又 = （ + ），所以M為PF1中點，

則| |是△PF2F1的中位線。

所以| |= |PF2|=2。

綜上所述，我們在解答涉及圓錐曲線問題時，要注重平面幾何知識的運用，加強數(shù)與形的認識，提高綜合解題能力。 （作者單位：江西省南昌市第三中學）endprint