非自由聲場三維重現(xiàn)的揚聲器系統(tǒng)優(yōu)化配置

廖祥凝， 鄭四發(fā)， 彭 博， 連小珉

(清華大學汽車安全與節(jié)能國家重點實驗室， 北京 100084)

引 言

聲場重現(xiàn)作為研究聲品質主觀評價及噪聲主動控制的一種重要手段，重現(xiàn)系統(tǒng)包括揚聲器、麥克風、控制單元等，其中揚聲器和麥克風的配置會影響聲場重現(xiàn)的精度和準確度[1～3]。因此，如何優(yōu)化揚聲器系統(tǒng)，減少揚聲器的個數(shù)以簡化系統(tǒng)，同時減少揚聲器激勵信號的計算量具有重要意義。

目前針對不同類型的優(yōu)化問題發(fā)展出諸多優(yōu)化算法，比如運用于線性系統(tǒng)的梯度下降法、拉格朗日乘數(shù)法等；運用于非線性系統(tǒng)及復雜問題的模擬退火算法、遺傳算法等。文獻[1]利用遺傳算法優(yōu)化揚聲器和麥克風的位置，重建與目標聲場基本相同的反聲場可達到減少機艙內噪音聲壓50%的效果；文獻[2，3]采用施密特正交原理進行了揚聲器配置優(yōu)化的仿真。但在揚聲器個數(shù)較多的情況下，施密特正交算法存在不穩(wěn)定性，隨著迭代次數(shù)的增加，誤差累積導致向量不再正交。尤其是重建非自由場環(huán)境下的目標聲壓時，揚聲器激勵信號的計算量增加，影響到揚聲器系統(tǒng)優(yōu)化的穩(wěn)定性。針對此問題，本文提出了綜合采用傳遞函數(shù)法和QR算法的揚聲器優(yōu)化配置方法。

1 非自由場三維聲場重現(xiàn)的控制方法

1.1 三維聲場重現(xiàn)的邊界控制方法

聲場重現(xiàn)技術是基于物理特征參量模擬的三維虛擬空間聽覺再現(xiàn)方法，人為地在聽者身處的物理空間內構造出虛擬現(xiàn)實的聲音，盡可能還原目標聲場的聽感信息[4]。由空間聲場邊界控制原理(Boundary surface control principle, BOSC)可知[5]，在封閉空間沒有其他聲源的情況下，封閉空間的內部聲壓特性完全取決于邊界聲壓特性。因此，若要重現(xiàn)某區(qū)域內的聲場，則可通過控制邊界聲壓與目標聲壓匹配來實現(xiàn)。圖1左所示邊界?V包圍內部空間V，形成封閉空間，n為邊界外法向量，則內部任意點聲壓表達式為[6]

(1)

式中ρ0為介質密度；f為頻率；ω為圓頻率；s表示內部點的位置向量；r表示邊界點的位置向量；p(s,f)和p(r,f)分別為內部點聲壓和邊界聲壓；vn(r,f)為邊界外法向速度；G(r|s,f)為自由空間的格林函數(shù)[6]。

圖1 目標聲場及重現(xiàn)聲場邊界控制示意圖

類似地，圖1(b)為在實驗室特定重現(xiàn)區(qū)域內聲場表示為

(2)

式中r′為?V′重建聲場區(qū)域邊界上的點；s′為重建區(qū)域內部點。

在保證重現(xiàn)區(qū)域與目標區(qū)域一致的前提下，若想滿足重建聲場等于目標聲場，即邊界包圍的封閉空間內的聲場p(s,f)=pre(s′,f)，通過令式(1)與式(2)相等，可得到

(3)

如果重現(xiàn)執(zhí)行系統(tǒng)采用無指向麥克風配置，應用狄利克雷(Dirichlet)格林函數(shù)[7]，公式(1)，(2)可改寫為：

(4)

(5)

式中GD(r|s,f)，GD(r′|s′,f)均為Dirichlet格林函數(shù)。

結合邊界控制原理和公式(4)，(5)，此時若想滿足重現(xiàn)聲場與目標聲場一致，則只需滿足重現(xiàn)區(qū)域和目標區(qū)域的邊界聲壓相等。即

p(r,f)=pre(r′,f)

(6)

綜上所述，若滿足重現(xiàn)區(qū)域內沒有其他聲源存在，區(qū)域大小與目標區(qū)域一致，并且重現(xiàn)執(zhí)行系統(tǒng)采用無指向麥克風配置的條件，則控制重現(xiàn)區(qū)域和目標區(qū)域邊界聲壓相等即可使得區(qū)域內聲壓相等，實現(xiàn)重現(xiàn)目的。

1.2 基于聲場傳遞函數(shù)求揚聲器激勵

如圖2所示，在帶反射的房間內布置L個揚聲器和M個麥克風，M個麥克風位置處的重建聲壓表達式為[8,9]

Pre(f)=H(f)·G(f)

(7)

圖2 非自由邊界的房間聲場重現(xiàn)示意圖

假設M個麥克風處的已知目標聲壓為Pd(f)，重建目標是使得Pre(f)=Pd(f)，可求得重建目標聲場揚聲器所需的激勵信號

(8)

(9)

λ(f)GH(f)G(f)

(10)

①計算正則化參數(shù)λ(f)，選擇L-曲線法求解[11]；

②求得λ(f)后，頻域范圍的激勵信號G(f)可由下面步驟解出：

1)當揚聲器個數(shù)大于麥克風個數(shù)，即L>M時，方程(8)為不定方程，則激勵信號G(f)解為

(11)

2)當揚聲器個數(shù)小于麥克風個數(shù)，即L≤M時，方程(8)為超定方程或正定方程，則激勵信號G(f)解為

G(f)=(HH(f)H(f)+λ(f)I)-1HH(f)Pd(f)

(12)

式中I為單位矩陣。

2 揚聲器系統(tǒng)配置的優(yōu)化

由于傳遞函數(shù)包含了揚聲器和麥克風位置及個數(shù)的物理特征，因此揚聲器的配置影響著重現(xiàn)聲場的準確性。對揚聲器系統(tǒng)配置進行優(yōu)化，有利于滿足準確性的同時簡化重現(xiàn)系統(tǒng)，更重要的是減少求取揚聲器激勵信號的計算量，提高聲場重現(xiàn)的時間效率。

2.1 揚聲器配置優(yōu)化的步驟

傳遞函數(shù)H(f)為M×L矩陣，可看成由L個列向量組成

(13)

圖3 揚聲器配置優(yōu)化示意

引入距離指標Jk-1

Jk-1=max(20lgri(k-1))

(14)

式中ri(k-1)指Hi(f)到Tk-1空間的距離。

若計算式(14)得到的距離指標Jk-1小于某數(shù)量值Jthr，如-40 dB(依照重現(xiàn)聲場應達到的精度等設定)，則可近似認為剩余的TL-Tk-1空間包括在Tk-1空間內，優(yōu)化停止，即剩余傳遞函數(shù)對應的揚聲器可舍去。

將上述過程描述成如下數(shù)學問題：

(15)

由式(15)可知，Rmk表示Hi(f)到Tk-1的距離ri(k-1)?？傻?/p>

Hk(f)=arg(max(ri(k-1)))

(16)

式中 arg表示定義域的子集，即arg(max(g(t)))表示提取出定義域子集中使得函數(shù)g(·)最大值的自變量。

對于多頻聲壓信號，如頻率范圍為[fl,fh]，可以將頻率離散為N段，再引入兩個距離指標J(k-1)avg和J(k-1)min：

(17)

J(k-1)min=min(Ji(k-1)(fl),…，Ji(k-1)(fh))

(18)

J(k-1)avg用于距離最大條件的判斷，J(k-1)min用于優(yōu)化是否終止的判斷。則公式(16)變?yōu)?/p>

Hk(f)=arg(max(J(k-1)avg))

(19)

2.2 初始揚聲器的選擇

不同的初始揚聲器位置對優(yōu)化后選擇出的揚聲器有較大影響，直接影響著重建聲場的精準度，因此初始揚聲器的正確選擇十分重要。從式(1)可知，麥克風采集的聲壓是由多個揚聲器驅動信號的線性疊加，因此選擇揚聲器傳遞函數(shù)與目標聲壓向量夾角最小的揚聲器作為初始揚聲器[2]，如圖4所示。即

Hini(f)=arg(min(sinθi))

(20)

圖4 初始揚聲器的選擇示意圖

3 揚聲器優(yōu)化方法的驗證

3.1 試驗環(huán)境

三維聲場重現(xiàn)在如圖5的房間內進行，房間尺寸為4.2 m×3.1 m×2.6 m，初始布置的揚聲器(21個)和麥克風(22個)如圖5，6所示。其中18個麥克風均勻分布在人工頭周圍，用于目標聲壓信號的采集、傳遞函數(shù)的測量以及聲場重現(xiàn)；剩余4個麥克風分布在人工頭耳朵附近，用于檢測重現(xiàn)聲場精度。

圖5 揚聲器配置示意圖

擬重現(xiàn)的目標聲壓為汽車勻速行駛過程副駕駛位耳朵附近的噪聲，采用同圖6相同的傳聲器陣列進行采集，其中的一個典型的麥克風時域信號如圖7所示。

圖6 麥克風配置圖

圖7 擬重現(xiàn)聲場中的聲壓信號

3.2 實驗結果

3.2.1 揚聲器優(yōu)化配置結果

由于揚聲器型號不同，只有序列號17到21的揚聲器能發(fā)出100 Hz以下低頻信號，因此分頻優(yōu)化，即序列號前16的揚聲器陣列與后5個揚聲器陣列分開優(yōu)化。選取Jthr=-40 dB，運用上述的QR算法得到Jmin和Javg的變化，如圖8和9所示。從Jmin可以看出：聲場重建控制系統(tǒng)中，優(yōu)化后的揚聲器陣列包括能發(fā)出低頻信號的5個揚聲器以及序列號前16的揚聲器陣列經(jīng)過篩選后留下的6個揚聲器，總共11個揚聲器，其序列號分別為2，3，5，6，10，16，17，18，19，20，21。相比較于原揚聲器陣列數(shù)目，優(yōu)化后的揚聲器數(shù)目減少了一半。

圖8 Jmin隨迭代次數(shù)的變化

圖9 Javg隨迭代次數(shù)的變化

3.2.2 揚聲器配置優(yōu)化前后重現(xiàn)結果對比

利用優(yōu)化前21個揚聲器與優(yōu)化后11個揚聲器分別進行聲場重現(xiàn)，得到如圖10所示耳朵附近四檢測點時域聲壓級的結果，其中無優(yōu)化重現(xiàn)聲壓信號的平均時域聲壓級誤差為0.47 dB，帶優(yōu)化的平均時域聲壓級誤差為0.51 dB。圖11為某一檢測點處原聲場與無優(yōu)化、帶優(yōu)化重現(xiàn)聲壓信號頻譜的幅值對比，可看出噪聲信號主要包括40～160 Hz范圍內的低頻成分，目標聲壓信號與無優(yōu)化、帶優(yōu)化重現(xiàn)聲壓信號的幅值曲線都十分吻合。計算得到40～400 Hz范圍內，無優(yōu)化重現(xiàn)聲壓信號的平均幅值誤差為1.84%，帶優(yōu)化的平均幅值誤差為2.09%。

綜合圖10，11對比可以看出，無優(yōu)化重現(xiàn)聲場與優(yōu)化重現(xiàn)聲場都能較好重現(xiàn)目標聲場，驗證了優(yōu)化算法的正確性。同時由于優(yōu)化了揚聲器配置，公式(8)中傳遞函數(shù)減少導致計算揚聲器重現(xiàn)聲場所需激勵的時間也相應減少了。無優(yōu)化時計算揚聲器激勵信號大約需17 h，而優(yōu)化后計算揚聲器激勵信號只需要7.4 h，可見揚聲器配置優(yōu)化算法的應用不僅能保證重現(xiàn)聲場的精度，而且大大節(jié)省了揚聲器激勵信號的計算時間。

圖10 不同揚聲器配置下4檢測點時域聲壓級的對比

圖11 不同揚聲器配置下某檢測點頻域幅值對比

4 結 論

論文以實現(xiàn)三維聲場重現(xiàn)為目的，基于聲場邊界控制方法，綜合采用傳遞函數(shù)法和QR算法進行揚聲器系統(tǒng)配置優(yōu)化。其主要思想為選出傳遞函數(shù)中最大線性無關的列向量對應的揚聲器，并以實車信號作為目標聲場，進行了聲場重現(xiàn)試驗。通過揚聲器系統(tǒng)優(yōu)化前后的重現(xiàn)聲場與目標聲場的對比，結果表明：優(yōu)化后采用更少的揚聲器能達到與優(yōu)化前揚聲器配置實現(xiàn)的重現(xiàn)效果，并且優(yōu)化后減少了求解揚聲器信號激勵的計算時間，提高了重現(xiàn)效率，證明了揚聲器優(yōu)化方法的有效性。

參考文獻：

[1] Diamantis Z G, Tsahalis D T, Borchers I. Optimization of an active noise control system inside an aircraft, based on the simultaneous optimal positioning of microphones and speakers, with the use of a genetic algorithm[J]. Computational Optimization and Applications, 2002, 23(1): 65—76.

[2] Asano F, Suzuki Y, Swanson D C. Optimization of control source configuration in active control systems using Gram-Schmidt orthogonalization[J]. Speech and Audio Processing, IEEE Transactions on, 1999, 7(2): 213—220.

[3] Enomoto S, Ikeda Y, Ise S, et al. Optimization of loudspeaker and microphone configuration for sound reproduction system based on boundary surface control principle[A]. Proc. ICA2010[C]. Sydney, Australia, 2010,2:942—948.

[4] Li Shenguang, Zheng Sifa, Peng Bo, et al. Experimental research on 3D sound reproduction with reflection boundary[A]. Inter-Noise 2012[C]. New York, 2012,5:3 624—3 632.

[5] Epain N, Friot E. Active control of sound inside a sphere via control of the acoustic pressure at the boundary surface[J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 299(3): 587—604.

[6] Fazi F M. Sound field reproduction[D]. Southampton: University of Southampton, 2010.

[7] Ise S. A principle of sound field control based on the Kirchhoff-Helmholtz integral equation and the theory of inverse systems[J]. Acta Acustica United with Acustica, 1999, 85(1): 78—87.

[8] Betlehem T, Abhayapala T D. Theory and design of sound field reproduction in reverberant rooms[J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 2005, 117(4): 2 100—2 111.

[9] Peng Bo, Zheng Sifa, et al. 3D sound field reconstruction in reverberation with regularization[A]. Proceedings of 20th International congress on Sound and Vibration, ICSV 2013[C]. Bangkok, Thailand, 2013,1:277—284.

[10] 謝菠蓀.頭相關傳輸函數(shù)與虛擬聽覺[M].北京：國防工業(yè)出版社，2008:240—241.Xie Bosun. Head Related Transfer Function and Virtual Auditory[M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2008:240—241.

[11] 王振杰, 歐吉坤. 用 L-曲線法確定嶺估計中的嶺參數(shù)[J]. 武漢大學學報(信息科學版), 2004, 29(3): 235—238.Wang Zhenjie, Ou Jikun. Determining the ridge parameter in a ridge estimation using L-curve method[J]. Geometrics and Information Science of Wuhan University, 2004, 29(3): 235—238.