換一種情景去思考問題

張景陽

摘 要：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，公式的記憶、運(yùn)用，解題步驟的繁瑣復(fù)雜，常讓人絞盡腦汁，收獲欠佳，學(xué)習(xí)興趣銳減，前進(jìn)的動(dòng)力難以調(diào)動(dòng)。如果能換一種情景去思考，看問題，也許會(huì)別有一番景致，生活增添更多的趣味。其實(shí)選擇什么角度去看問題，是每一個(gè)人的自由，也是每一個(gè)人的智慧。但應(yīng)該知道：看法決定想法，想法決定做法，而做法已決定了結(jié)果。改變看問題的情景角度，令你的思維插上騰空的翅膀，無論從思考的廣度上還是深度上都會(huì)從中得到很大的提高，讓人的思維更加異彩紛呈。

關(guān)鍵詞：融合性；實(shí)踐性；積極性

一、換一種情景去思考問題，可以使問題體現(xiàn)一般性，加強(qiáng)知識(shí)的融合性，增強(qiáng)知識(shí)的實(shí)踐性

在學(xué)習(xí)排列新授課中有這樣一個(gè)例題：求證：（1）Amn=mAm-1n-1（2）Amn+mAm-1n-1=Amn+1，大多數(shù)學(xué)生對(duì)于第一個(gè)問題還好，第二個(gè)問題用到分式的通分、排列公式的逆用，顯得運(yùn)算能力有點(diǎn)缺憾。

不妨設(shè)置這樣一種情景：（1）在n個(gè)不同的小球中，其中含有1個(gè)紅球和n-1個(gè)不同的白球，從這n個(gè)球中任選m個(gè)（m≤n）不同小球的所有排列？（2）有n個(gè)不同的白球和1個(gè)紅球，從這n+1個(gè)球中任選m個(gè)（m≤n）不同小球的所有排列？可以讓學(xué)生思考，能用計(jì)數(shù)原理解釋這兩個(gè)問題嗎？由題可知共有m個(gè)不同的位置，先排紅球，有m種，從剩余的n-1個(gè)中選m-1個(gè)的排列，即有m×Am-1n-1種排法，所以有Amn=mAm-1n-1；同樣依據(jù)計(jì)數(shù)原理選出的m個(gè)小球，分兩種情況分類討論：（1）選出的m個(gè)小球不含紅球情況，則從n個(gè)小球中選m個(gè)的排列，有Amn種。（2）選出的m個(gè)小球中含1紅球的情況，紅球有m種選法，從剩余的n-1中選m-1的排列，即有種m×Am-1n-1排法，由（1）（2）得Amn+mAm-1n-1=Amn+1。從上述可以看出，換一種情景思考問題，不僅使問題降低了認(rèn)知難度，讓學(xué)生易于接受，而且又增加了知識(shí)的連貫性與應(yīng)用實(shí)踐性，達(dá)到了異曲同工之妙。

二、換一種情景去思考問題，使得復(fù)雜的問題變簡(jiǎn)單，抽象的問題變具體

例1.有一個(gè)環(huán)形花壇，四周分A、B、C、D四個(gè)區(qū)域，有四種不同顏色的花，要求每個(gè)區(qū)域僅種一種顏色的花，相鄰區(qū)域的兩種花的顏色不能相同，問有多少種種法？

學(xué)生對(duì)這個(gè)問題接觸不多，大多都是按照A、B、C、D四個(gè)區(qū)域的順序，4×3×3×2=72種，結(jié)果是錯(cuò)誤的.正確解釋：（1）當(dāng)A、C同色時(shí)，A、C有4種選擇，B、D各有3種選擇4×1×3×3=36；（2）當(dāng)A、C不同色時(shí)，A有4種選擇，B有3種選擇，B、D各有2種選擇，4×3×2×2=48.由（1）（2）得36+48=84種.針對(duì)上述問題，不妨設(shè)置這樣一種情景：用1、2、3、4四種不同的顏色去涂A、B、C、D四個(gè)區(qū)域，要求一個(gè)區(qū)域只用一種顏色，相鄰的區(qū)域兩種顏色不能相同，問有多少種不同的涂法？學(xué)生在這樣的環(huán)境下，本能的無意識(shí)的動(dòng)手畫一畫，漸漸意識(shí)到會(huì)簡(jiǎn)單的枚舉，水到渠成地會(huì)想到列樹狀圖，通過列樹狀圖得到1號(hào)顏色在A區(qū)域時(shí)共計(jì)21種涂法，依據(jù)等可能性原則2、3、4號(hào)顏色在A區(qū)域也各為21種，總計(jì)84種涂法。通過列樹狀圖，不僅使抽象問題具體化、形象化；復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，而且增加了無盡的童趣，進(jìn)而增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心和前進(jìn)的動(dòng)力，注重了學(xué)生非智力因素的培養(yǎng)。

三、換一種情景去思考問題，可以使枯燥的問題變得生動(dòng)形象，更富有趣味性，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性

例2.已知橢圓的方程為 + =1（a>b>0），M為橢圓上一點(diǎn)，

F1，F(xiàn)2為兩個(gè)焦點(diǎn)，求滿足下列條件的離心率e的范圍？

（1）∠F1MF2最大角為銳角.（2）∠F1MF2最大角為鈍角.

常規(guī)方法求解，首先判斷出M的位置在y軸上，即M（0，b），使得∠F1MF2為最大角，后應(yīng)用余弦定理，cos∠F1MF2<0，即a2+a2-4c2<0，2e2<1，解得00，即a2+a2-4c2<0，2e2>1，解得

不妨設(shè)置這樣一種情景：以F1，F(xiàn)2為直徑畫圓，即以O(shè)為圓

心，以c為半徑畫若干個(gè)圓，觀察∠F1MF2出現(xiàn)銳角，直角，鈍角與這些圓的關(guān)系。很自然就知道：直徑所對(duì)的圓周角是直角，頂點(diǎn)在圓外∠F1MF2是銳角，頂點(diǎn)在圓內(nèi)∠F1MF2是鈍角.通過作圓可以得到，∠F1MF2最大角為銳角，以F1，F(xiàn)2為直徑的圓在橢圓的內(nèi)部，即

2c<2b，兩邊平方得c22b，兩邊平方得c2>b2，2c2>a2，兩邊同除以a2，

四、換一種情景去思考問題，可以進(jìn)一步加強(qiáng)類比聯(lián)系，探究解決問題的方法規(guī)律，應(yīng)用方法規(guī)律解決實(shí)際問題，提高靈活駕馭知識(shí)的能力

例3.已知設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=10，且

S12>0，S13<0，問前幾項(xiàng)的和最大？

由題意得d<0，等差數(shù)列{an}是遞減的，又因S13= =13

a7<0，所以a7<0，同理S12= =6（a6+a7）>0，所以a6>0，故等差數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和最大.

不妨設(shè)這樣的情景：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=10，且S12>0，S13<0，問Sn取最大值時(shí)，n的值是多少？在這樣的情境下，特別是出現(xiàn)“最大值”這樣熟悉的字眼，讓學(xué)生不禁聯(lián)想到二次函數(shù)最值問題，進(jìn)而想到數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是Sn=An2+Bn（A，B為常數(shù)），近似滿足一元二次函數(shù)的性質(zhì).由題意得d<0，A<0，拋物線開口向下，Sn有最大值，又因?yàn)镾n=An2+Bn過原點(diǎn)，其中一根為n1=0，另一根n2∈（12，13），拋物線對(duì)稱軸方程n= =m∈（6，6.5）.依據(jù)性質(zhì)：拋物線開口向下，拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸距離越近函數(shù)值就越大.因?yàn)閚-m≤6-m（n∈N），所以當(dāng)n=6時(shí)，Sn取得最大值。通過函數(shù)“最值”這一切入點(diǎn)導(dǎo)引，進(jìn)一步加強(qiáng)函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)的貫穿，使函數(shù)思想進(jìn)一步得到應(yīng)用升華，體現(xiàn)的精彩紛呈。

換一種情景思考問題，不僅使問題輕松得以解決，增添了許多趣味，而且更進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生求知的欲望，培養(yǎng)學(xué)生探索自然奧妙的上進(jìn)心。情景的設(shè)置，讓學(xué)生走出課堂走進(jìn)實(shí)踐，體驗(yàn)知識(shí)的真諦，加強(qiáng)理論與實(shí)踐相結(jié)合，充分體現(xiàn)了知識(shí)來源于生活實(shí)踐，同時(shí)又為實(shí)踐生活服務(wù)。

（作者單位 山東省昌樂及第中學(xué)）

編輯 孫玲娟