淺析中學幾何解題中蘊含的方程思想

孫玉勇

【摘要】本文討論了中學幾何解題中所蘊含的方程思想，主要包括平面幾何和解析幾何.通過具體例題展現了如何運用其中所蘊含的方程思想來解幾何題，充分體現了方程思想是中學數學的基本思想.

【關鍵詞】中學幾何；方程思想；圓錐曲線

數學是研究客觀世界數量關系和空間形式的科學.許多數學對象都存在某種形式的數量關系，最基本的數量關系是相等和不等.當我們將數學量的相等關系用等式來表示，且把其中一個或幾個數學量當作未知量時，就得到了方程.有關方程的基本知識主要包括方程解的定義、韋達定理、方程有解或無解的充要條件、方程在某個范圍有解或無解的充要條件、方程有無窮多個解或有限多個解的充要條件等內容.利用方程的基本知識來解決數學問題的思想，可以稱為方程思想.

方程的思想可追溯到偉大的數學家笛卡兒，在《指導思維的法則》一書中他提出了一種解決數學問題的所謂“萬能方法”，其模式是首先將任何種類的問題轉化為數學問題，其次將任何種類的數學問題轉化為代數問題，最后將任何種類的代數問題轉化為方程或者方程組的問題.在得到方程（組）后，討論方程（組）的解的問題，得到解之后再對解進行解釋.這一模式現在看來雖不能說是萬能，但在處理數學問題時確有廣泛的應用.這種過程可用下表描述：

在中學數學里，大量的數學知識是以相等關系反映的，而數學問題也常常明顯地或隱含地存在著相等關系.近幾年來，中學數學試題更加注重數學思想方法的考查，方程的思想尤為突出.因此，在數學教學過程中有意識地滲透方程思想是十分必要的，指導學生自覺應用方程思想解題對培養能力、提高思維素質都具有重要意義.本文主要討論中學幾何包括平面幾何和解析幾何解題中所蘊含的方程思想.

我們知道，幾何中的許多計算問題其實都可以轉化成方程問題，即都可以通過列方程來求解.不但如此，即使是一些證明問題、曲線問題，也可借助方程作為工具去求解，而且這樣的解題方法往往更加直接、簡便.

（一）幾何最值問題

在最近幾年各地的數學中考試卷中，經常出現一些最值問題，這些最值問題的提出通常是在平面直角坐標系中，與二次函數的知識綜合在一起，有些問題可以用函數最值的知識去解決，但有些卻不能.因此，這些最值問題給學生的中考答卷造成了相當大的困難.實際上，解決這種最值問題只是用到了平面幾何中的相關知識，而解決這些問題往往可以利用方程的思想，下面的題目就是利用一元二次方程的有關知識來解決平面幾何的最值問題.

評注本題考查直線與橢圓的基本概念及性質、解析幾何的基本思想及綜合靈活運用知識的能力.用待定系數法求方程是解析幾何中的常規方法，本題的關鍵是運用對稱軸的有關性質和韋達定理建立方程組求解.這些都要求對方程思想的內涵理解深透，會靈活運用.

結束語

綜上所述，方程思想是中學數學的基本思想，是將數學知識轉化為能力的橋梁，幾乎滲透到中學數學的各個領域，應該說方程思想在中學數學解題中的運用是非常廣泛的，不僅僅體現在幾何題的解法中，在其他如代數問題、三角函數問題中，它都起著舉足輕重的作用.因此在解題時自覺運用方程的思想，不僅有利于解題思路的尋求和優化，也有利于溝通知識的縱橫聯系，對拓寬學生的思路、發展他們的智力、培養創造性思維等都具有十分重要的意義.

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