不定積分第二類換元積分法的表述形式及其適用范圍

龐一成等

【摘要】 第二類換元積分法是計算不定積分的重要方法之一，在許多教材中具有不同的表達形式.本文指出一些教材在應用所提供的第二類換元積分法求解一些不定積分時的矛盾之處，并給出其各種表達形式的適用范圍.

【關(guān)鍵詞】不定積分；不定積分換元積分法

【分類號】O172.2【文獻標識碼】A

1.引言

不定積分是《高等數(shù)學》中一個重要的內(nèi)容.不定積分的本質(zhì)是求一個一元未知函數(shù)，使其導數(shù)恰好是某一已知一元函數(shù).它既是學習導數(shù)和微分后知識的延伸，又是學習定積分以及多重積分知識的基礎，也是學好《高等數(shù)學》的關(guān)鍵.求解不定積分的常用方法有：第一類換元積分法（湊微分法）、第二類換元積分法、分部積分法、待定系數(shù)法、歐拉變換法等.一些教材限于篇幅，在用實例解釋第二類換元積分法時不嚴謹，以至于學生不能很好地掌握此方法，甚至還會感到迷惑.本文指出一些教材在應用所提供的第二類換元積分法求解一些不定積分時的矛盾之處，并給出第二類換元積分法各種表達形式的適用范圍.

2.第二類換元積分法及其實例

在此例中，因為被積函數(shù)a2-x2是連續(xù)函數(shù)，所以應用定理3表述的公式來解答，就不會出現(xiàn)上面的問題.

3.結(jié)束語

鑒于一些教材在應用所陳述的第二類換元積分法求解一些不定積分時出現(xiàn)了一些矛盾，在教學時，本文建議，當被積函數(shù)連續(xù)時，使用定理3表述的公式來計算不定積分是比較方便的；當出現(xiàn)具有第二類間斷點的被積函數(shù)時，使用定理1、定理2、定理4表述的公式來求解是比較合適的.

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