初始狀態變化的非線性奇異系統的實用穩定性

王貴元

【摘要】本文利用類李雅普諾夫函數方法和比較原理，研究了初始狀態變化的非線性奇異系統的實用穩定性、一致實用穩定性及實用漸近穩定性.通過借助類李雅普諾夫函數，同時給出相應的比較系統，得到了這一類系統實用穩定、一致實用穩定及實用漸近穩定的充分條件.

【關鍵詞】實用穩定性；奇異系統；不同初始狀態

【中圖分類號】0175.13

1.引言

Lyapunov意義下的穩定性指的是系統平衡點附近的解的性態.現實中經常存在這樣的情形，有些系統在Lyapunov 意義下是穩定的，但保證其穩定的區域很小，在實際中無法應用；還有一些系統在Lyapunov 意義下不穩定，但解的偏差卻在可接受的范圍之內，基于這一事實，實用穩定性的概念被提了出來.實用穩定性就是研究那些系統，其平衡點在數學上可能是不穩定的，但是在實用上是可以接受的，因此，研究系統的實用穩定性具有一定的現實意義.

對于不同的微分系統，已有學者給出了實用穩定的充分條件，文獻[1]研究了初始時刻不同的非線性微分方程的實用穩定性，文獻[2][4]討論了脈沖系統的實用穩定性，利用比較原理給出其實用穩定的充分條件，其中文獻[4]利用兩個類李雅普諾夫函數研究了非線性脈沖系統的嚴格實用穩定性；對于帶擾動的脈沖系統，文獻[3]給出了該類系統一致實用指數穩定的充分條件；文獻[5]利用Lyapunov第二方法，在無窮時間區間上分析了切換系統的實用穩定性及時變子系統穩定化的設計問題.

研究系統的實用穩定性，尤其是在脈沖系統中往往采用比較原理.本文利用類Lyapunov函數法及比較原理，對于不同的初始時刻，研究了初始狀態變化的非線性奇異系統的實用穩定性、一致實用穩定性及實用漸近穩定性，給出了該類系統實用穩定、一致實用穩定及實用漸近穩定的充分條件.

2.預備知識

考慮非線性奇異系統

4.結語

對非線性奇異系統（1）實用穩定性的研究，往往是基于初始時刻不變的情況下，本文我們利用類李雅普諾夫函數法和比較原理，研究了初始狀態變化的非線性奇異系統的實用穩定性、一致實用穩定性及實用漸近穩定性，給出了該類系統實用穩定、一致實用穩定及實用漸近穩定的充分條件.

【參考文獻】

[1] Xinyu Song ， Senlin Li ， An Li. Practical stability of nonlinear differential equation with initial time difference. Mathematics and Computation 203 （2008）157-162.

[2] Yu Zhang， Jitao Sun.Eventual practical stability of impulsive differential equations with time delay in terms of two measurements.Journal of Computationaland Applied Mathematics 176 （2005） 223-229.

[3] OHSEN DLALA and MOHAMED ALI HAMMAMI.Uniform exponential practical stability of impulsive perturbed systems[J].Dynamical and Control Systems， Vol. 13， No.3， July 2007， 373-386.

[4] Senlin Li， Xinyu Song， An Li.Strict practical stability of nonlinear impulsive systems by employing two Lyapunovlike functions[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications 9 （2008） 2262-2269.

[5] Xuping Xu and Guisheng Zhai.On Practical Stability and Stabilization of Hybrid and Switched Systems[J].Hybrid Systems： Computation and Control（2004）.