領(lǐng)悟教材編寫意圖 凸顯數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)

盛珍珍

摘 要：“雞兔同籠”問題是我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載的一道數(shù)學(xué)趣題，也是多個版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的教學(xué)內(nèi)容。“雞兔同籠”問題蘊藏著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，有很多解題方法。不同的年段，有不同的策略；不同的教材，有不同的編寫意圖。教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生不同的年齡特點，深刻領(lǐng)會教材編寫意圖，凸顯數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)。

關(guān)鍵詞：教材編寫意圖；版本；情境導(dǎo)入

教材的內(nèi)容體現(xiàn)了教材編寫者對學(xué)生發(fā)展需要的一種理解，教師首先要弄清教材的安排意圖，然后進一步鉆研教材，對教材進行深層次的理解和把握。“雞兔同籠”是一個經(jīng)典問題，同時又是一節(jié)經(jīng)典課。很多名師在不同的場合演繹過，但名師上課的班級大都來自名校，學(xué)生基礎(chǔ)相對較好，他們講課的方式并不具有一般性。不同的教材版本，有不同的教學(xué)價值和教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)的重點應(yīng)該放在哪里？列表、畫圖、轉(zhuǎn)化、假設(shè)、化繁為簡、代數(shù)等多種思想方法是否需要一一滲透？如何滲透？帶著這些思考，筆者翻閱了多個版本的教材，并執(zhí)教了人教版六下的“雞兔同籠”，以下從兩個方面談?wù)劇半u兔同籠”問題。

一、不同版本教材關(guān)于“雞兔同籠”的編寫意圖比較

“雞兔同籠”問題是一個經(jīng)典問題，解法豐富，價值多元。這個問題不管是課改前還是課改后都頗受關(guān)注。不僅教師對于這個內(nèi)容目標(biāo)的把握和價值取舍不同，不同教材版本的內(nèi)容編排、目標(biāo)定位也有明顯的差異。以下就從三個不同版本來闡述。

1.北師大版教材編寫意圖

“雞兔同籠”問題安排在五年級上冊“嘗試與猜想”部分。主要是讓學(xué)生通過列表、嘗試、調(diào)整的過程，掌握解決問題的一種策略——列表。教學(xué)重點是理解、掌握列表找規(guī)律的方法。《教師用書》提出的教學(xué)目標(biāo)：通過對一些日常生活現(xiàn)象的觀察與思考，發(fā)現(xiàn)一些特殊的規(guī)律。

2.蘇教版教材編寫意圖

“雞兔同籠”問題安排在六年級上冊“解決問題的策略”例2后的“練一練”部分，其目的是鞏固畫圖法和假設(shè)法。

在本冊“解決問題的策略”單元中，例1教學(xué)的重點是替換策略，例2是畫圖策略，而“雞兔同籠”問題很好地把畫圖、替換等方法聯(lián)系起來。所以蘇教版的教學(xué)目標(biāo)是：理解畫圖和替換在解決某些問題時的價值；初步學(xué)會多種解決問題的策略。教學(xué)重點是：理解、掌握畫圖和替換這兩種解決問題的策略。

3.人教版教材編寫意圖

人教版教材先從我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》引入，教材滲透化繁為簡的數(shù)學(xué)思想，把大數(shù)據(jù)變小，嘗試讓學(xué)生解決。教材呈現(xiàn)了多種解決問題的策略，有列表法、假設(shè)法、方程法，同時在“閱讀資料”里還介紹了古人的金雞獨立法。教材配套《教師用書》提出的教學(xué)目標(biāo)是：了解“雞兔同籠”問題，感受古代數(shù)學(xué)問題的趣味性；嘗試用不同方法解決“雞兔同籠”問題，并體會代數(shù)方法的一般性；在解決問題的過程中，發(fā)展邏輯推理能力。

總之，三個不同的教材，有不同的定位。教師要能讀懂教材，領(lǐng)悟教材真正的編寫意圖，同時結(jié)合本班學(xué)生不同的基礎(chǔ)，適當(dāng)改變教材，讓教材“為我所用”。只有這樣才能提高課堂教學(xué)實效，才能使學(xué)生變通教材知識、服務(wù)現(xiàn)實生活。

二、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)案例解讀

數(shù)學(xué)家米山國藏說：不管他們（指學(xué)生）從事什么業(yè)務(wù)工作，即使把所教給的知識（概念、定理、公式等）全忘了，唯有銘刻在他們心中的數(shù)學(xué)精神、思想和方法都隨時隨地地發(fā)生作用，使他們受益終生。就“雞兔同籠”問題而言，有些老師居然直接讓學(xué)生背公式來求解，這完全是違背學(xué)生的發(fā)展規(guī)律、違背人性發(fā)展的。教育的目的不是培養(yǎng)解題機器，是要教會學(xué)生思考問題、提出問題并解決問題。

數(shù)學(xué)知識發(fā)生、形成、發(fā)展的過程就是其思想方法產(chǎn)生、應(yīng)用的過程，在教學(xué)中，教師應(yīng)向?qū)W生提供豐富的、典型的、正確的直觀背景材料，使學(xué)生在掌握知識技能的同時，能夠深入數(shù)學(xué)的“靈魂深處”，真正領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的精髓——數(shù)學(xué)思想方法。

筆者以人教版六下內(nèi)容為例，談?wù)劸唧w如何開展數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)。

1.情景引入 激活思維

筆者就“雞兔同籠”問題做了課前調(diào)研（每個班級選取優(yōu)、中、下三個層次各2名學(xué)生），結(jié)果假設(shè)法和方程都有學(xué)生能想出來，猜測法也有，但有些正確，有些錯誤，列舉法沒有，畫圖法也沒有。即使老師告訴孩子們可以用畫一畫、列舉或是算式的方法嘗試，結(jié)果還是不盡如人意。能用假設(shè)法或方程方法的同學(xué)，心中自然摒棄了畫圖和列表法等“低級”的方法，認為前面的是更“高級”和抽象的方法。

但是，會算的同學(xué)真的理清雞兔同籠問題了嗎？他們理解用假設(shè)法解決這類問題的真諦嗎？還是只會簡單套用公式，當(dāng)問題一旦復(fù)雜就不知道如何應(yīng)對？對于學(xué)習(xí)困難的學(xué)生，他們的收獲在哪？一節(jié)課40分鐘，如何讓他們通過畫圖、列表等策略來解決問題，同時更好地理解假設(shè)法，并能在腦中建立一定的數(shù)學(xué)模型。

教學(xué)片斷：

（1）出示課題

師：雞和兔見過嗎？老師帶來了“雞”和“兔”（■ ■）哪只是雞？

生：兩條腿的是雞，四條腿的是兔。

師：你能用最快的速度把雞轉(zhuǎn)化成兔嗎？

生：給雞添上兩條腿。（師在黑板上板演）

師：兔子又怎樣轉(zhuǎn)化成雞？ 生：給兔子去掉兩條腿。（師板演）

師：同學(xué)們都利用了腿數(shù)的變化來進行轉(zhuǎn)化。（板書轉(zhuǎn)化）

（2）列舉

■

師：如果老師把雞和兔子關(guān)在一個籠子里，告訴你共8個頭，請問雞和兔子各有幾只？

師：你能把所有可能的情況一一列舉出來嗎？

設(shè)計意圖：

？誗簡化思想：雞（■）和兔子（■），這兩種形象的表示方法簡單直觀，為后面的畫圖法埋下伏筆。

？誗轉(zhuǎn)化思想：雞和兔子之間的變化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，而且都是通過腿數(shù)的變化來實現(xiàn)的，為后面的假設(shè)法奠定了基礎(chǔ)。

？誗枚舉思想：先給出一個條件，雞兔共8只，求雞兔各有幾只，學(xué)生不僅學(xué)會有序記錄的方法，而且為后面的列舉法搭建了一個平臺。

2.方法呈現(xiàn) 激發(fā)思維

對于雞兔同籠問題，吳文俊院士有過這樣的論述：盡管這道難題制造了許多奇招怪招，但是你跑不遠，更不能騰飛。因為只要引進代數(shù)方法，你就可以輕松地把題目解出來。確實，二元一次方程是解決這個問題的最佳模型，從解題方法的角度而言，方程法遠比畫圖、列表之類的方法要簡便、快捷，但“雞兔同籠”此課的目標(biāo)只是把題目做出來么？我們要發(fā)掘的是雞兔同籠問題的教學(xué)價值，而不是、至少不僅僅是數(shù)學(xué)價值。因此，即便最后要被方程法一統(tǒng)天下，教師也可以理直氣壯地在不同的年級教學(xué)雞兔同籠問題。（或類似的問題）

我想，教材的編寫意圖是讓學(xué)生經(jīng)歷多種解法（畫圖法、列表法、方程、假設(shè)法等）的探索過程，同時掌握解決問題的一些策略。雖然列表法、畫圖法等最后會被取代，但是這樣的思考過程卻不可缺少，而這正是學(xué)生解決問題策略的形成過程。

教學(xué)片斷：

（1）獨立嘗試

師：如果增加一個條件，（板書 腿有26條）答案唯一嗎？

師；用喜歡的方法試一試。（如有困難可以借助黑板上的表格）

■

匯報各種方法

（2）列表法

師：觀察數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)：雞少一只，兔多一只，多2條腿，雞和兔的轉(zhuǎn)化都相差2條腿。

（3）假設(shè)法1和畫圖法

8×2=16（條）假設(shè)全是雞 ■■■■■■■■

26-16=10（條）假設(shè)比實際少10條腿，這10條腿還給誰？怎么還？圖上如何表示？

10÷（4-2）=5（只）這5只是什么？（兔）為什么（雞轉(zhuǎn)化成兔） ■■■■■■■■

（4）假設(shè)法2和溝通

師：剛才我們假設(shè)全是雞，我們也可以假設(shè)全是兔？

生：（兔）請同學(xué)們試一試，做好的可以給它配上圖。

展示：重點解決6÷（4-2）=3（只），這3只為什么是雞？（是兔轉(zhuǎn)化而來的）

師：都是假設(shè)法，有什么相同與不同之處？

預(yù)設(shè)：

（a）都假設(shè)成一種動物。（復(fù)雜問題簡單化，假設(shè)成極端情況）

（b）假設(shè)都是雞，轉(zhuǎn)化成兔，假設(shè)都是兔，轉(zhuǎn)化成雞。

（c）都是利用腿數(shù)的變化進行調(diào)整。

（d）腿多的要去腿，兔變成了雞；腿少的加腿，雞變成了兔。

總結(jié)：雖然假設(shè)的動物不同，但都是利用腿數(shù)的變化來調(diào)整的。一個加腿，一個去腿。

（5）方程法

設(shè)若要指出兔x只，雞（8-x）只，要有（ ），補充如果假設(shè)雞有x只，兔有（8-x）只，

2x+4（8-x）=26 總雞腿+總兔腿=26

設(shè)計意圖：

？誗列表作用：讓每個學(xué)生都能直觀感受到每增加1只兔或減少1只雞，需要調(diào)整2條腿，列表法要經(jīng)過多次嘗試與調(diào)整的過程，極限的兩種情況（都是兔或都是雞）很好地為后面的假設(shè)法做好鋪墊。

？誗畫圖作用：關(guān)于假設(shè)法借助畫圖能直觀理解，特別是調(diào)整的過程，通過畫圖，讓學(xué)生感受到為什么假設(shè)全是雞，先算出的是兔的只數(shù)。

？誗溝通作用：2種假設(shè)法的溝通，讓學(xué)生進一步理解假設(shè)法，讓學(xué)生感受到假設(shè)法其實就是把兩個未知條件變成一個未知條件，也體現(xiàn)復(fù)雜問題簡單處理的思想，同時不管哪種假設(shè)都存在一個調(diào)整的過程。

？誗方程作用：方程具有一般性，能解決所有此類問題。方程法重點解釋設(shè)句和數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)的技巧簡單帶過即可。（因為如果設(shè)雞為x只，會出現(xiàn)左邊是-4x這種情況，而此情況是教材回避的方程）

3.方法溝通 發(fā)展思維

算法與算法之間很多時候并不是孤立的。不同的算法雖有不同的特點，但有時卻有一根無形的“繩”把它們緊緊地聯(lián)系在一起，這里這根“繩”就是“假設(shè)”。筆者看過很多資料，很少有教師在這個環(huán)節(jié)上下工夫。但筆者認為方法之間的溝通很有必要。因為這些方法表面上看似不同，但實質(zhì)都是“假設(shè)法”，就猶如把珍珠串成項鏈的過程。這樣我們的學(xué)生不僅看到樹、還能看到森林！學(xué)會整體、全局地分析問題、解決問題。

教學(xué)片斷：

師：同學(xué)們剛才說得很好，每種方法都有各自的特點，這些方法之間有內(nèi)在聯(lián)系嗎？

得出列表法是不斷假設(shè)、不斷調(diào)整的過程，而假設(shè)法是一次假設(shè)調(diào)整成功。

假設(shè)法是列舉法的優(yōu)化。

師：畫圖法呢？

生：也是假設(shè)畫圖法是形象（直觀）的假設(shè)法。

師：方程呢？

生：也是假設(shè)。

把具體的數(shù)量，假設(shè)成未知的x（在列表法后面板書）雞就有（8-x）板書

得出各種方法都是“假設(shè)”法。

師：同學(xué)們，我們不僅要研究方法的多樣性，也要研究方法之間的聯(lián)系。

設(shè)計意圖：

？誗具體假設(shè)：列表法其實一開始就是一個假設(shè)，每增加（或減少）一只兔子就是一次調(diào)整，它只不過是多次調(diào)整之后的結(jié)果。

？誗直觀假設(shè)：畫圖法也是假設(shè)，它是一種形象直觀的假設(shè) 它（■■■■■■■■）其實就是假設(shè)成全是雞，而后面加腿其實就是一個調(diào)整的過程。

？誗抽象假設(shè)：方程也可以理解成是一種假設(shè)，它是把具體的數(shù)量假設(shè)成未知的x只，是一種抽象的假設(shè)。

此文以“雞兔同籠”為引子談?wù)劷處熑绾卧诮虒W(xué)中吃透教材編寫意圖，并能滲透恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法。當(dāng)然數(shù)學(xué)思想方法的滲透并不是一蹴而就的，需要教師有意識、有目的地結(jié)合數(shù)學(xué)知識，逐步滲透，反復(fù)訓(xùn)練，層層遞進，才能使數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)成為提高學(xué)生思維品質(zhì)的重要途徑。

新課標(biāo)修訂組組長史寧中教授提出：中國未來小學(xué)數(shù)學(xué)教育將轉(zhuǎn)入更加注重內(nèi)涵的改革深化階段：其一，注重思考力的培養(yǎng)；其二，注重過程性經(jīng)驗的積累；其三，注重真正意義上的“理解”。小學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的啟蒙時期，學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力正處于從形象向抽象發(fā)展的重要時期，這一階段關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)將顯得尤為重要。小學(xué)教師平時教學(xué)中要關(guān)注教材，分析教材，結(jié)合學(xué)生身心特點，準確領(lǐng)會教材編寫意圖，適時凸顯數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，實現(xiàn)教學(xué)質(zhì)量的不斷提升。

參考文獻：

[1]張維忠，汪曉勤.文化傳統(tǒng)與數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化[M].北京大學(xué)出版社，2006.

[2]鐘建林.文本價值的多種可能及適度取舍[J].福建教育，2012（7）.

（作者單位 浙江省杭州市行知小學(xué)）

？誗編輯 楊兆東