分式學習中的數學思想

龍巨

當新的教育理念不斷深入并在課堂教學實踐中有所成效時，身處教學一線的我們由衷地感到欣慰，但同時我們依然可見課堂教學中“穿新鞋，走老路”的舊的教學模式還不同程度的存在。課堂上高密度、大容量、題海戰術等現象勢必不利于學生能力（智力）的進一步提升與發展。為此我們在甚感憂慮的同時，不禁要反思我們的數學課堂應該給學生留下點什么？將來我們的學生可能對所學知識有所遺忘，但他們不能忘記的是——解決問題的思想與方法，這是最重要的。現將八年級數學分式一章的學習中用到的數學思想與方法作一歸納，與同仁們交流，以期給教與學帶來幫助，以利提高。

一、類比思想

類比是根據兩個或兩類對象的某種屬性相同或相似而作出的推論。類比的基礎是比較，就兩個或兩類對象進行比較時，發現它們的相似或相同點。

在學習本章的過程中要不斷地與分數的情形類比，以加深對分數知識的理解和運用，另外可類比列一元一次方程解應用題的方法來學習列分式方程解應用題。

例1.已知：x=-2，求（1-■）÷■的值。

分析：分式的化簡求值可類比整式的化簡求值的方法，分式運算順序類比分數運算順序。

解：原式=■.■=■

當x=-2時，原式=■=-■

例2：（1）閱讀理解：符號“■”稱為二階行列式，規定的運算法則為■=ad-bc，例如：■=3×4-2×5=12-10=2；（2）請閱讀理解，并化得下面的二階行列式：■

分析：解決本題的關鍵是通過閱讀題目，理解二階行列式的運算法則，再利用其法則將（2）中的二階行列式的運算轉化為分式運算。

解■=a×1-■（a2-1）=a-■=a+（a+1）=2a+1

例3.據林業專家分析，樹葉在光合作用下產生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用，已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐葉一年的平均滯塵量的2倍少4 mg，若一年滯塵1000 mg所需的銀杏樹葉的片數與一年滯塵550 mg所需的國槐樹葉的片數相同，求一片國槐樹葉一年的平均滯塵量。

分析：本題考查分式方程的應用，根據“片數相同”這一等量關系即可列出分式方程求解。

解：設一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為x mg，則一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為（2x-4）mg，依題意有■=■，求得x=22.

經檢驗：x=22是原方程的解且符合題意。

答：一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為22 mg。

二、轉化思想

轉化思想是初中數學中常見的一種數學思想，它的應用十分廣泛，化復雜為簡單，化陌生為熟悉，化抽象為具體……就是這種思想的具體應用。使許多問題一經轉化就迎刃而解。本章中處處體現這一數學思想：（1）在判斷分式有意義，分式的值為0的條件時，通常將其轉化為一元一次方程來解決；（2）在計算分式的除法運算時，通常是將其轉化為分式的乘法來完成；（3）在解分式方程時，通常是通過去分母，將其轉化為一元一次方程來解。

例4.若■的值為0，則x的值為（ ）。

A.±1 B.1 C.-1 D.不存在

分析：分式的值為0的條件是分子等與0而分母不等于0，由此轉化為方程來求解。

解：令分子│x│-1=0，∴│x│=1，∴x=±1，當x=1時，分母x2+2x-3=12+2-3=0，此時分式無意義∴x≠1，當x=-1時，分母x2+2x-3=（-1）2-2-3=-4≠0，此時分式有意義，綜上所述，x=-1，故選C。

三、整體思想

整體思想是初中數學中常用的運算方法之一，它從問題的整體性出發，突出對問題的整體結構的分析與改造，發現問題的整體結構特征，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們的關聯，進行有目的、有意識地整體處理。整體思想在本章中有著廣泛的運用。

（1）用整體代入法求分式的值；（2）用整體思想變換分子、分母的位置，實現求分式的值的目的；（3）把n個式子作為整體參與整體變形。

例5.已知a+■=7，求a2+■的值。

分析：把a+■=7作為整體進行變形，構造出a2+■并求值，注意完全平方公式在分式運算中的應用。

解：∵a+■=7，∴（a+■）2=72

∴a2+2a·■+（■）2=49，即a2+2+■=49

∴a2+■=47

四、分類討論思想

分類討論思想是在對數學對象進行分類的過程中尋求答案的一種思想方法，分類的關鍵是根據分類的目的，找出分類的對象，分類既不能重復，也不能遺漏，最后要全面總結。

例6.若關于x的方程■+■=-1無解，求m的值。

分析：該分式方程無解的情況有兩種：（1）原方程存在增根，即當x=3時，該分式方程無解；（2）原方程兩邊都乘3-x約去分母后，得整式方程（1+m）x=-2，當1+m=0，即m=-1時，整式方程無解，即原方程無解。

解：（1）x=3為方程的增根，此時有（1+m）×3=-2，即m=-■，當m=-■時，原方程無解。

（2）方程兩邊同乘3-x，化簡有（1+m）x=-2，當m=-1時，整式方程無解，所以當m=-1時，原方程無解。

綜上所述，m=-■或m=-1時，原方程無解。

作為數學教育工作者，我們在平時的教學中，特別要重視數學思想的講授，讓學生感悟思想與方法，發展能力，這樣才有可能創新，我們的學生才能走得更高更遠，新的課程理念才能得到真正的落實。

（作者單位 新疆喀什地區澤普縣第五中學）

？誗編輯 溫雪蓮