基于GARCH模型的上證綜合指數收益率波動的實證研究

【摘要】文章選取上證綜合指數2012年1月4日至2012年12月31日的日收盤數據為研究對象，針對其收益率序列，運用GARCH模型對上證綜合指數進行擬合和檢驗。分析結果表明，上證綜合指數收益率序列具有明顯的異方差性、波動性和持續性，同時上證綜指有較高的風險溢價現象。

【關鍵詞】GARCH模型 收益率 上證綜合指數

前言

股票資產收益波動性的研究是當前股票市場研究的核心問題之一。由于上證綜指具有跨期性、杠桿性、聯動性、高風險性等顯著特點，且各種風險因素相互關聯，難以獨立的評估和預測。GARCH模型非常適和分析和預測的金融波動性，對投資者的決策有很重要的指導作用[1]。因此，文章希望通過對上證綜指的GARCH性質以及波動性的研究，挖掘其內在規律，對市場風險和指數進行簡單評估和預測，有助于投資者進行比較和決策，減少投資者的風險和損失。

一、GARCH模型的簡介

GARCH模型是對ARCH模型的改進和完善，自從Engle提出ARCH模型之后，Bollerslev在Engle基礎上提出了GARCH模型，GARCH（p，q）模型公式為[2]：

ARCH模型實際上只適用于異方差函數短期自相關過程，相比于ARCH模型，GARCH模型更能反映實際數據中的長期記憶性質。（1-1）式稱為條件均值方程；（1-2）式稱為條件方差方程，說明時間序列條件方差的變化特征。

二、上證綜合指數收益率數據特征統計分析

本文選取上海證券交易所2012年1月4日到2012年12月31日的日收盤價格數據，利用EXCEL做簡單的公式轉換求出上證股票的收益率2012年1月4日到2012年12月31日的242個數據作為研究對象。股票的收益率用收盤價格的指數的對數差來表示，公式為：

其中St-表示上證綜合指數的收盤價，Rt-表示收益率。

首先對上證綜指數收盤價數據做基本分析，通過圖1可以直觀地觀察上證綜合指數的股票收盤價格走勢圖。

圖2可以看出，上證綜指收益率具有明顯的波動集群現象，某些時間段內波動性較大，某些時間段內波動性較小。為了更深入地分析數據，我們做如下數據基本統計分析。

由圖3基本統計特征可知，股票收益率的峰度（Kurtosis）為4.649013，大于正態分布的峰度值3，由此可以看出上證綜合指數的收益率序列的特征有尖峰和厚尾的特性。P值為0.00000，拒絕上證綜指收益率序列服從正態分布的假設。

圖4收益率的Q-Q圖中，直線代表正態分布，收益率序列在中段接近直線而在兩端偏離直線，這是厚尾分布的特征。厚尾特征的出現一般而言有兩方面原因：一是信息集中出現導致指數大幅波動；二是信息的作用沒有立刻在期貨市場顯示出來，大量信息的積累導致了大幅的波動。

三、上證綜合指數收益率模型的建立

（一）平穩性檢驗

數據變量的平穩性是傳統的計量經濟分析的基本要求之一。只有模型中的變量滿足平穩性要求時，傳統的計量經濟分析方法才是有效的。而在模型中含有非平穩時間序列式，基于傳統的計量經濟分析方法的估計和檢驗統計計量將失去通常的性質，從而推斷得出的結論可能是錯誤的。因此，在建立模型之前有必要檢驗數據的平穩性。

對上證綜合指數收益率時間序列進行平穩性檢驗，檢驗結果如表1所示：

表1 上證綜合指數收益率ADF檢驗

由表1可知，-16.23493<-3.4574，因此上證綜合指數收益率時間序列為平穩序列。

（二）相關性檢驗

對已求出的242個上證股票收益率做相關性檢驗，結果如下圖：

由相關檢驗圖可以看出，收益率序列的自相關系數（AC）和偏自相關系數（PAC）都在兩倍標準差之間，由此可以看出收益率序列不存在自相關性和偏自相關性。考慮到收益率序列不存在相關性，因此在均值方程中不存在均值回歸因子，可以用線性方程來擬合。

（三）收益序列ARCH效應檢驗

以上證綜合指數序列{S1}為基礎，為了減少舍入誤差在估計時對序列{S1}進行自然對數處理，將處理的結果{ln（St-1）}最為因變量進行估計。估計的基本形式假定為[3]：

ln（St）=c+ρ×ln（St-1）+μt （3-1）

其中c為常數，利用最小二乘法估計得到如下方程：

ln（St）=0.019+0.997×ln（St-1）+μt

（0.0083）（0.000）

R-squared=0.9971 Log likelihood=11644.2

AIC=-4.983 SC=-4.981

從擬合結果可以看出擬合程度非常顯著，系數的和小于1，并且殘差經過檢驗平穩。

觀察殘差圖，可以注意到波動的成群現象明顯，這說明誤差項可能具有條件異方差性。

因此，需要運用ARCH-LM檢驗（3-1）式的條件異方差。

在此檢測中，原假設為：回歸方程的隨機誤差滿足同方差性。對立假設為：回歸方程的隨機誤差滿足異方差性。判斷原則為：如果nR^2>chi^2（k-1），則原假設就要被否定，即回歸方程滿足異方差性。

對收益率序列進行不同滯后期的進行回歸方程以后殘差序列進行此項檢驗，結果匯總如下：

表2中P值為0拒絕原假設，因此認為收益率序列存在ARCH效應，并且由5階ARCH-LM檢驗結果來看P值仍然很小，即殘差序列存在高階ARCH效應，應考慮建立GARCH（p，q）模型。

（四）模型的選擇

為確定GARCH模型的階數，以下列出不同的系數組合所得到的AIC和SC。

通過AIC和SC的比較可知，在上述模型中，GARCH（2，3）和GARCH（1，1）是上述模型中較好的兩個模型，為了降低參數估計的復雜程度，我們選擇GARCH（1，1）模型進行參數估計。回歸結果表示為：

ln（St）=0.033+0.996×ln（St-1）+×μt （3-2）

（0.00）（0.00）

σ2t=4.46×10-6+0.9118×σ2t-1+0.0775×μ2t-1 （3-3）

（0.000） （0.000） （0.000）

AIC=-5.6603 SC=-5.3436

R-squared=0.99712 Log likelihood=12487.7

相比較最小二乘法的結果，對數似然值有所增加，AIC和SC都有所減小，說明GARCH（1，1）模型能夠較好地擬合數據，對方程（3-2）進行ARCH-LM檢驗，殘差序列的統計結果：

由表4可知，此時該序列不存在ARCH效應，說明利用GARCH（1，1）模型消除了方程的殘差序列的條件異方差性。

殘差檢驗結果圖如下：

由圖7可知自相關系數和偏自相關系數都極小，近似等于0，Q統計量大于顯著程度，說明不顯著，同時也證明了殘差序列不存在ARCH效應。

方差方程式中ARCH項和GARCH項之和為0.988小于1，滿足參數的約束條件。因為系數之和比較接近1，由此說明條件方差所受的沖擊是持久的。

四、結論

由GARCH（1，1）模型參數估計結果可知，GARCH項的系數為0.988，同時通過了顯著性檢驗，由此證明上證綜合指數的股票價格具有“長久的記憶性”，也就是前期股票價格的波動對后期股票價格波動的大小有一定的影響；同時表明上證綜指有較高的風險溢價現象，即股市波動越大，其存在的風險也越大，同時收益率也越高。

分析結果表明，上證綜合指數收益率序列具有明顯的異方差性、波動性和持續性，同時上證綜指有較高的風險溢價現象，即股市波動越大，其存在的風險也越大，收益率也越高。

方差方程式中ARCH項和GARCH項之和為0.988小于1，滿足參數的約束條件。因為系數之和比較接近1，由此說明條件方差所受的沖擊是持久的。

另外模型的ARCH項和GARCH項的系數都是正數，由此說明股票過去的價格波動對未來股市的波動有著正向而減緩的作用，表現出波動性的集中出現。

參考文獻

[1]韋艷華，張世英.金融市場的相關性分析——Copula-GARCH模型及其應用[J].系統工程，2004，（4）：7-12.

[2]李基梅，劉青青.VaR-GARCH模型在我國股指期貨風險管理中的應用[J].山東理工大學學報（自然科學版），2009，（4）：73-76.

[3]王玉榮.中國股票市場波動性研究-ARCH模型族的應用[J].河南金融管理干部學院學報，2002，（5）：25-38.

基金項目：院級科研項目（2012zrky09）及廣西教育廳項目（2013LX144）。

作者簡介：江偉（1972-），男，漢族，廣西賀州人，講師，研究方向：金融統計。